Anzahl der Lnsiiiii,'eii einer (luadralisclieii Kongruenz etc. 257 



«. ^ y g'j (iiiod \)), / = r --!- 1, /■ ~l 2, . . . m 

 setzen. 



Die Kongruenz (1) geht dadurdi in 



(2) (e,^^/+(9,.^^/+•••+(9,.:tv)-+y {(y,,^, ..,.^ J-+---(e,„.''j}- 



a (mod p) 

 über nnd ändert dabei die Anzahl der Lösungen nicht. 



Mit den Koeffizienten « sind auch sämtliche Zahlen g durch p 

 nicht teilbar. 

 Wir setzen 



(3) Q^x. = >j. (mod p), i = 1, 2, • • • Ht 



und erhalten aus ( 2V die Kongruenz 



{i) !h + ^2 ■* -^l/l + V (.'/;. + 1-1 H 2/L) = « (mod p). 



Jeder Lösung der Kongruenz (2) entspricht vermittelst {■'>) eine 

 Lösung der Kongruenz (4), aber auch umgekehrt erhält man aus 

 jeder Lösung der Kongruenz {i) durch Auflösung der lösbaren line- 

 aren Kongruenzen (3) eine Lösung der Kongruenz (2). Somit be- 

 sitzen die Kongruenzen (2) und (4), also auch (1) und (4) gleichviel 

 Lösungen und es genügt, sich ausschliesslich mit der einfacheren 

 Kongruenz (4) zu befassen. 



Es sei nun ij eine beliebige durch p nicht teilbare Zahl. Wir 

 dürfen, ohne die Anzahl der Lösungen zu ändern, die Kongruenz (4) 

 mit >y- multiplizieren und erhalten 



und nach analoger Überlegung, wie oben, besitzt die Kongruenz (1) 

 gleichviel Lösungen wie die Kongruenz (5), also auch wie die Kon- 

 gruenz (4). 



Ist w ~ (mod pl, so ist auch «>;" ^' (mod p); ist w ein qua- 

 dratischer liest von p, so ist es auch w>/^, und in dieser Form ist 

 dann jeder quadratische Rest von p darstellbar; ist schliesslich w 

 (juadratischer Nichtrest von p, so ist es auch «>/-' und in dieser Form 

 ist dann auch jeder quadratische Nichtrest darstellbar. 



