■258 Jakob Klotz. 



Die Kongruenz (4) besitzt somit gleichviel Lösungen für alle 

 quadratischen Reste a von p einerseits und gleichviel für alle qua- 

 dratischen Nichtreste « von p anderseits. Ausserdem noch eine ge- 

 wisse Anzahl für den Fall, wo a durch p teilbar ist. 



Wir bezeichnen dementsprechend die Anzahl der Lösungen der 

 Kongruenz (4) mit 



o,,„,; Ä,,,„; K.m'^ 



je nachdem 



co..(nmodp);(^)= + l;(^)=-l 



ist und können somit das bisherige Ergebnis in folgendem Satze 

 zusammenfassen : 



Satz. Die Kongruenz 



«j ./-j H- a„ a,-;; + • • • + ß^^^ x^^^ = 03 ( mod p) , 



welche /■ Koeffizienten entlialte, die quadratische Reste von p sind, 

 besitzt 



ö;,„,; ß,..,„; K.v, 



Lösungen, je nachdem 



c^-:0(modp); (^) = + l;(^) = -l 



ist. Die Zahlen 0^. ,^^, R^. ^^^, N^, ^^^ sind dabei die Anzahlen der 

 Lösungen der Kongruenz: 



ih + ^2 -I ^yl+y{yl+i-^ ^ yl] = " (•"od pi 



in denselben drei Fällen, wobei y einen beliebigen Nichtrest von p 

 bedeutet. 



Unsere Aufgabe besteht nun darin, die Anzahlen : 0^. ^^,; R^. ,,,; N^. ^^^ 

 2u berechnen. 



Wir werden zu diesem Zwecke eine Reihe von Formeln ableiten 

 müssen, die schliesslich auf Rekursionsformeln führen, aus welchen 

 sieh die gesuchten Anzahlen ergeben. 



Wir bezeichnen mit n die Norm des Ideales p, also 



iV (p) = p' = ^^ 



wo / der Grad des Ideales ist und jj die in p enthaltene ungerade 

 rationale Primzahl bedeutet. 

 Wir beweisen die Formel : 



