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Beweis. Es sei 



Wp 0)., , . . . ca^ 



ein vollständiges Restsystem niod p. 



Jede der »i Lösungszahlen 1',, )'„.... 1'^^, einer Lösung der 

 Kongruenz (4): 



z/i -t- Z/o H i-'j't + y {i/'l + , -I 1- yl,) « ("if'fi p) 



ist einer und nur einer Zahl des vollstiiiuligen Kestsystems mod p 

 kongruent. 



Bilden wir somit aus den Zahlen «; des vollständigen Restsystems 

 alle möglichen Kombinationen zu je ni Zahlen, deren Anzahl offenbar 

 JT ' ist und setzen diese Kombinationen der Reihe nach an Stelle der 

 rnlifkannten in den Ausdruck: 



i/\ ■ 'A • ^-y^ + y {z/^+i-i ^-2/1}' 



so wird dieser Ausdruck 0^ ,^, mal kongruent 0, je h\. ^^, mal kon- 

 gruent einem bestimmten Reste und je iV. „, mal kongruent einem 



bestimmten Nichtreste mod p. Da es aber — ^ — quadratische Reste 

 und ebensox-iel quadratische Nichtreste von p gibt, so ist die Formel 

 (1) bestätigt. 



Es ist ferner: 

 (II, I 0,.^ , „, .^ , = 0,. „, +(«—!) R,. „, , wenn n ~ 1 (mod 4) , 

 '^^^•2^ ^r + 1 ,H + 1 "" ö^ ,„ 4- (31 — 1) jV,. „^ , wenn «3 (mod 4 ) ist. 



Beweis. Wir betrachten die Kongruenz 



/A + y'H Hj/' + i +y(z/' + 2H h y; + ,) = (mod p). 



Die Anzahl der Lösungen dieser Kongruenz ist ^,. + 1 ,„ + i- Diese 

 Anzahl kann noch anders abgezählt werden, indem wir nämlich unsere 

 Kongruenz in der Form : 



y\ -^ yl h H z/' + y (z/' + ., h H y; + 1) = - ir , , (mod p) 



schreiben. Erteilt man //^^, alle Werte eines vollständigen Rest- 

 systems mod p, so wird — 'J,jri ßin™'^' kongruent mod p, was 

 O^. ^^^ Lösungen liefert und n — l mal kongruent einem Reste, resp. 

 Nichtreste, was (jt — 1) R^ ,„, resp. (« — 1) N^ ,„ Lösungen liefert und 

 zwar geschieht ersteres im Falle jt — 1 (mod 4), letzteres im Falle 

 n Z{ mod 4). 



Unsere Kongruenz besitzt somit 



0, ,„ -f (« — 1) J?,. „, oder O. -i (»r - 1) iV ,„ 



