260 Jakob Klotz. 



Lösungen, je nachdem ?r = 1 (mod 4) oder « = 3 (4) ist. Somit die 

 Formeln II bewiesen. 



Ähnlicli gelten die folgenden Formeln : 



(Uli) 0,. „, + 1 -^ 0,. ,„ + (.Ä — 1) i^,. ,„ ; wenn tc = l (mod 4), 

 (IIL) 0,. ,„ + 1 = 0,, „^ + (;r — 1) Ä,. „, ; wenn Jt = 3 (mod 4). 



Beweis. Wir betrachten die Kongruenz: 



//? + //o -I hl/l-^ril/'i + i^ ^- //l + i) = (mod p), 



die 0^. ^^^ ^ , Lösungen besitzt, und zählen diese Anzahl nochmals ab, 

 indem wir die Kongruenz in der Form: 



.^1 + ^2 -' '■' yr + y[y'r+i-^ ^ vi) = — y ul+i (mod p) 



schreiben. Legt man wiederum ij^^^ ^ j alle Werte eines vollständigen 

 Restsystems mod p, so wird — y j/^^ ^ j einmal kongruent mod p, 

 was 0^. „^ Lösungen der Kongruenz liefert, und n — 1 mal kongruent 

 einem Nichtreste, resp. Reste von p, was (;r — 1) N^. ^^^, resp. (jr — • 1) R^, ^^^ 

 Lösungen liefert und zwar ersteres im Falle jt = 1 (mod 4), letzteres 

 im Falle ;r = 3 (4). 



Unsere Kongruenz besitzt also 



0,. ,,, + (jt — 1) iV; „, oder 0,, „, -\-(n—l) R^. „, 



Lösungen, je nachdem in: = 1 (^mod 4) oder n el S (mod 4) ist. Somit 

 auch die Formeln III bewiesen. 



Die beiden Formelsysteme II und III zeigen uns, wie man in 

 jedem Falle, d. h. für jedes n die Anzahlen R^. ,,^ und iV^. „^ aus den 

 Anzahlen 0. ^ berechnen kann. Es genügt also die letzten zu be- 

 stimmen. 



Addiert man die beiden Formeln IIj und UI, oder auch die beiden 

 IIj und III2, so gelangt man zu gleichem Resultate, nämlich : 



0,. + :.., + ! + 0,, ,„ + 1=2 0, „, + (:r - 1) {R,.^ ,„ + N,.^ „,) , 



was mit Benutzung von I 



^,. + 1, «, + 1+0,, ,„ + 1 = 2'^'" 



für jedes n liefert. Erniedrigen wir noch die beiden Indices um 1, 

 so erhalten wir für die Grössen 0, ^^^ eine Rekursionsformel bezüglich 

 der ersten Indices r, nämlich 



(IV) 0, ,„=2:;r"'~' — 0,_j ,„. 



