Anzahl der Lösunjjen einer (luadratisclicn Kon),'ruenz etc. "261 



Die Bestimmung von 0,. „, kann somit auf ilio Bestimmung von 

 0^ „, zurückgeführt werden und dies geschieht nach der Formel : 



die wir jetzt beweisen wollen. 



Beweis. Nach IV ist, wie loiclit einzusehen, 

 = , , 



r,m r — 2,111 ' 



was uns ^>',. „, "= ^^ ,„ für gerades /•, dagegen ^-^,., ,„ = ^^, „, für unge- 

 rades /• liefert. 



Da nach (IV) 0, ,„ = 2w"'~* — O,, „, ist, so erhalten wir 



wenn /• gerade, und 



wenn /■ ungerade. 



Diese beiden Formeln zusammengefasst liefern uns die Bezie- 

 hung (V). 



Es handelt sich also nur noch um die Bestimmung von 0,, ^^^, d. h. 

 die Anzahl der Lösungen der Kongruenz 



y (yi + 2/2 -I ^- :'A» ) = ^ ('"0^1 P) ■ 



Diese Anzahl ist offenbar gleich der Anzahl der Lösungen der 

 Kongruenz : 



//J + y'o H h 2/1 = (mod p) , 



d. h. es ist 0^^= 0„, ,„ und verabreden wir, den Doppelindex {in, m) 

 durch den einfachen (ih) immer zu ersetzen, so ist: 



Bevor wir zur Bestimmung von 0,„ übergehen, wollen wir in 

 II, und III, /■ 'I und m = 2 setzen, was 



, wenn 3i=l (mod 4) 



ergibt. Setzen wir / = 2, in = 2 in (lio) und (HL), so erhalten wir 



, wenn w = 3 (mod i) ist. 





Nun ist nach (V) 0^ 3 = 0,, ^ und nach (VI) 0^3= O33. Es ist 

 somit Oj 3 = O3 3 für jedes n, was uns aus den obigen 4 Beziehungen : 



