262 Jakob Klotz. 



^2.2=^^2 



für jedes n liefert. Diese Gleichung darf auch nach unserer Verab- 

 redung als 



(VII) E, = N, 



geschrieben werden. 



Nun wenden wir uns zur Bestimmung von 0^^^, d. h. der Anzahl 

 der Lösungen der Kongruenz 



yl + i/2 -I 1- vi = (mod p ). 



Wir beweisen zu diesem Zwecke die Beziehungen: 



„^2)' wenn 3r~l(4), 

 „jBo), wenn re = 3(4). 



besitzt 0^^^ Lösungen, welche Anzahl wir nochmals abzählen, indem 

 wir unsere Kongruenz in der Form 



ul + yl-\ !- yl_3= — (2/L-i+i'L) (mod p) 



schreiben. 



Ist zunächst n = 1 (4) gedacht, so besitzt die Kongruenz 

 2/„^_j+ y^^ = (mod p) 0„ Lösungen, die 0^^^., ■ 0^ Lösungen unserer 

 Kongruenz ergeben. Die Kongruenz v/j"'^,_j+ ?/^^^ = p (mod p), wo 9 ein 

 quadratischer Rest von p ist, besitzt R.^ Lösungen, welche in dem 

 betrachteten Falle So- R^-^i Lösungen unserer Kongruenz liefern. 

 Und schliesslich besitzt die Kongruenz ^^^^_j+ t/^^^ = y (mod p), wo y 

 ein Nichtrest von p ist, N„ Lösungen, die N^^_^ ■ N^ Lösungen unserer 

 Kongruenz liefern. Da es aber — ;, — quadratische Reste von p und 

 ebensoviel Nichtreste gibt, so besitzt unsere Kongruenz im ganzen : 



ö,„_. • 0, + ^ {ii,„_, ■ R, + a;,_, • N,) 



Lösungen, somit die Formel (Villi) bewiesen. 



Bemerkt man, dass im Falle ^- = 3(4), wenn 2/J„ _ j + 2/^„ kon- 

 gruent einem Reste resp. Nichtreste ist, — (yL-i+^L) ^^nn kon- 

 gruent einem Nichtreste resp. Reste ist, so ergibt sich aus (Villi) 

 ohne weiteres die Formel (VIIL). 



