Anzahl der Lösungen einer i[uadi;ili.sclien KongrueTiz etc. 263 



Nun ist nach (VII) i?g = iV2. somit ergibt sich aus (.Villi i ""^^ 

 (VIII,) 



0,„ = 0„ _ „ 0,, H- —7^ Ä, (ä„, _ , + N,„ _ .) , für jedes n. 



Aus (I) folgt für I- — in 



„"• = c>,„ + ^^ (ä„, -!- A-,,,) , 

 somit ist 



(IX) ^)„, = 0,„ _ „ 0, + Ä,, («"' ~ ' - r j,,, „) ■ 



Wir müssen jetzt 0.> und 7^2 berechnen, um aus dieser Formel 

 eine Kekursionsformel für die gesuchten Anzahlen 0^^, zu erhalten. 

 Aus den Formeln (II) folgt für r — l, m = 1 : 



O, = 0, + (,a:— Di?, = 1 +(jr — 1)2 = 2« — 1, wenn weeeI (4), 

 0, = O, + (ä— 1) • iV, = 1 -f- (ä — 1) • = 1, wenn jr ee 3 (4). 



Nun ist aus (D und mit Benutzung von (VII) 



:t-= o, + ^'^(R^+N^)= 02 + (;r— 1)Ä,. 

 Somit ist : 



Ä, = -^^- = ^^zi = 51-1, wenn jc = 1 (4), 



Eo = "'~?' = "'~T- = :r + 1, wenn n = 3 (4). 



n — 1 n — 1 ^ ' 



Setzen wir die gefundenen Werte von <)„ und R, in (IX) ein, so 

 erhalten wir: 



für n=l t^mod 4) : 



Ö„,= 0„,_,(2;r-l) + (;r-l) («'"-'-- 0„,„,J = ;rO,„ _,+ ;r"'-' - ;r"' 

 oder: 



(X,) 0,,,— n'""' = n (O^^^^., — n"'~^), wenn ä = 1 (4); 



für n~S (mod 4) : 



^^„ = Ö.« - 2 ■ 1 + ('» -^ 1) (jr'" ~ ' — ''-^m - 2) = — »^ ^^,« _ 2 + 51'« - ' + 51'" ~ 



oder: 



i X,) 0„| — 7t"'~^ = ~7c (0,,, _ 2 — n" ~ ^) , wenn n ^ 3(4). 



Die Rekursionsformeln (X,) und (Xj) lassen sich in die eine: 



( X ) 0„, - n" " ' = (- 1 )'^- Jt (^,„ - 2 — '^"' " ') 



vereinigen, die für jedes 31 besteht. 



