264 Jakol. Klotz. 



Ist zunächst m ungerade, so erhalten wir aus dieser Formel: 



0„, — Jt"'~^ = (— 1)^ ■ "-^ jr^ (O, — n) = 0, 



weil Oj, als Anzahl der Lösungen der Kongruenz yj^O(p), gleich 1 

 ist. Somit ist 



0^^^ = n" ^ , wenn m = 1 (2) ist. 



Ist dagegen m gerade, so ergibt sich aus (X): 



0„,— ä"''"^= (— 1)^ ^ ii~^ (p„— n). 



Nun war Og = 2 w — 1 im Falle re = 1 (4) und Og = 1 im Falle 

 31 = 3 (4), also ist 0, — n: = jt — 1 im ersten und 0^ — ^ = — (» — 1) 

 im zweiten Falle. Allgemein ist also für jedes n: 



02-:r = (-l)'^(jr-l), 

 somit ist 



m — 1 



4- (— 1) 2 '2^2 (jr — 1), wenn m = (2) 



ist. Die beiden gefundenen Ausdrücke für 0^^^ vereinigen wir zu 

 einem, nämlich: 



(XI) 0,„ = ;r'" - ' + ^ { 1 -\- (- 1)'") (- 1)^ ■ 2 ■n^~\n—\) 



und dieser Ausdruck gilt für jedes m und %, wobei, wie wir sehen, 

 der zweite Summand im Falle eines ungeraden m zu Null wird. 



Aus 0^^^ berechnen wir jetzt 0^. ^^ und dann aus 0^. ,„ die Anzahlen 

 R^. j^^ und iV . j^^ . 



Es ist nämlich nach (V) 



0,..,,, = {!-(- 1V'[ 'r"'"' + (- IV ^o.«,- 



Da aber nach (VI) 0„ „, = 0^,, ist, so erhält man, wenn man aus 



(XI) den Ausdruck für 0^^^ einsetzt: 



(XII) rj. „, = ;r"'-'+ } |1 + (- 1)'«} (- 1)"^ ■ ^^'' ^^~' in-l). 



Diese Formel gilt allgemein, d. h. für jedes r, ni und it. 

 Zur Berechnung von Ä . ^^^ und N^. ,^, übergehend, benutzen wir 

 die Beziehungen: 



