Aiizalil der Lösungen einer (luadnitisclien Kongruenz etc. 265 



für n 1 (mod 4): 



(III,. ('^-l)^,,,„=Ö,,,„ + ,-0,,„; 



für JT .^ 3 (mod 4) : 



un.' ('^-i»^A..,„=o,.,„+,-o,,,„. 



Da wir nach (XII i für 0,. ,,, einen für jedes n gültigen Ausdruck er- 

 lialten haben, so sehen wir, dass es genügt, etwa B^. ^^^ und N^. ^^^ für 

 den Fall « = 1 (4) zu bestimmen, da man dadurch gleichzeitig N^ ^^^ 

 und Ä,. „, für ä ~" 3 (4) erhält. 



Es ist zunächst aus (11,) mit Benutzung von (XII): 



(;r-l) /v;,,.,,,- n"'-\- ^ {1 -f- (- 1)"""'} (- 1)"^ ■ '■^""' + ' jr^ (;r-l) 

 _„"' -i_ J {1 _M_iy"} (_ n'^-T + '-;r^-'(„_l). 



Bemerkt man. dass das zweite Glied nur im Falle eines unge- 

 raden /(/ nicht verschwindet, in diesem Falle aber 



/« -r 1 I ?K ^ 1 1 m — 1 r w — 1 "1 



wo die eckige Klammer das grösste Ganze bedeutet, gesetzt werden 

 darf: anderseits das vierte Glied nur im Falle eines geraden m nicht 

 verschwindet, für welchen Fall wir 



setzen dürfen, so ergibt die obige J'ormel: 



ß, ,„ = n'" -'-l {!-{- 1)"'} (_ i)-r'- i"^] + '• . „[~t] 



- ; { 1 ^ (- 1)'"} (- 1)"^ ["^1 ^ '■ . ^rl"^'] 

 oder : 



(XIII,) A'_.__^=:;t"'"'— (-1) -' l -^ J^'.itI 2 J, für« 1(4); 

 also nach dem oben erwähnten auch : 



,„ 1 i~-^ r^^^i^i + ,■ r "'-' i 



(XIV,) N^„^^n"~^—i—l) -^ l 2 J + '.äI -1 J, für «-3(4). 

 Man erhält analog aus (III,) mit Hülfe von (XII): 



