266 Jakob Klotz. 



_„'«-i_^ {1 +(_iy"} (_ l)-?^-i+'-.;rf-\^_l) = 



= (jr - n [^""''+ I {1 — (— 1)'"} (— 1)^ f^^ ■" '■ • ;r[ V] 



-4{l+(-ir}^-l)^I'^^'-.J'^]); 

 also ist: 



(XIV2) i\^,. „, = jt"' " ' — (- 1)^^ f^J ^ '■ ^ "' • jrt^J , für n = 1 (4) 



und 



(XIII2) J?,.„,= jr'" •"'—(— 1) 2 l 2 J + '+ .0^1 ,2 J^ für:r = 3(4). 



Die beiden Formeln (XIII) unterscheiden sich voneinander, ebenso 

 wie die beiden XIV, nur im Faktor { — 1 )'" des zweiten Summanden. 

 Da aber 



! . ■^~' I + 1 , wenn :;r = 1 (4) 



und 



^ ^ U-ir. . ;r = 3(4) 



,„ • ^ _ i^~- 1)'"' ^^^"" '^ =^' 1 <^-*) 

 ^ ^ ' ^1 4-1, „ « = 3(4) 



ist, so lassen sich (XIIIj) und (Xlllg) einerseits zu der einen Formel 



(XV) i^„„„=."'--(-i)-^tm-"'}..m 



für jedes /■, 111, % 

 und (XIVj), (XI V„) anderseits zu der einen Formel 



(XVI) .v,„ = .'"-- (- 1)—^ (["^] -"} . .m 



für jedes /■, m, % 

 vereinigen. 



Die Formeln (XII), (XV) und (XVI) liefern uns die Lösung 

 unseres Problems, da sie allgemein gültige Ausdrücke für die An- 

 zahlen 0^. ,„ ; -ß,. „, und iV^. ^^^ darstellen. 



Ich will bemerken, dass wenn man den von uns zugrunde ge- 

 legten algebraischen Zahlkörper A'('9-) auf den Körper der rationalen 

 Zahlen spezialisiert, man dann sofort aus diesen drei Formeln sämt- 

 liche, zuerst von Lebesgue ') aufgestellten Formeln für die Anzahlen 



') Lebesgue, Recherches sur les nombres (Liouville's Journal, t. ä, I'" Serie). 



