Anzahl der Lrisungen einer i[uadr;itisrlien Kongruenz elc. 367 



der Lösungen einer quadratischen Kongruenz (i, .'j + a.,.r ."+••• -f- 

 a„,.t^„= «,„ + 1 (niod;*) erhalt. 



Wir wollen noch zum Scliluss die beiden Formeln (XV) und (XVI) 

 für l\ ^ ,,, und iV,. „,, welche Formeln sich nur im Faktor ( — 1)'" des 

 zweiten Summanden unterscheiden, in eine Formel vereinigen. 



Dazu dient die Bemerkung, dass 



( ) ^ + 1, wenn lo (|uailrati.sulier Rest von p 

 und 



( ") =( — 0'", , „ , Nichtrest von p 



ist. Wir dürfen somit statt (XV) und (^XVI) die eine Formel 



"^^^ /— 1 \ . 



schreiben, und da ( — 1) - = ( 1 ist, so ist 



(XVII) j,„„ = .'"- - (- iv (^)"' (^' )["':■] . .ra 



die Anzahl der Lösungen der Kongruenz: 



K, .rj -^- a.^x'^-\- • ■ • -\r «,,^ x^^^ s; a (mod p") 



im Falle o ^p (mod p). 



Die Formel (XII) für O,. ,„ war : 



0, ,„=«'"-'+ -^ {l+(-l)"'} (-1)^^' '^^'■•5r^'"'(;r-l), 



und da der zweite Summand nur für gerades m nicht verschwindet, so 



darf man wiederum _, =f= — ^ , —, 1 = — =^ — setzen und 



wir erhalten: 



(XViiii o,,^, - w'" ■'-^ Y ^1 -F (- 1)'") (- ^Ti—f^^ ■ ^^^'^ ('^-i). 



Die Formeln (XVII) und (XVIIl) formulieren wir im folgenden 

 Satze : 



Satz. Sind «,,«,,... a^^^ m beliebige, durch das zu 2 prime 

 I'rimideal p nicht teilbare ganze Zahlen des Körpers K {%), und 

 sind r unter ihnen quadratische Reste des Rrimideals p, dessen Norm 

 mit n bezeichnet werde, so besitzt die Kongruenz: 



a, Xj + «., .«-g + • • • + ß,„ x'^^^ : 03 (mod p), 



Tlprteljabnsohrirt d. Nalurf. Ges. Zürich. Jahrg. 58. 1913. 18 



