292 Marcel Grossmaiiii. 



dem. Die Physiker leiten die Begriffe und Sätze der Vektoranalysis 

 ab in unmittelbarer Anlehnung an die physikalischen Probleme, denen 

 die betreffenden Begriffe und Sätze ihre Entdeckung und Anwendung 

 verdanken. So berechtigt und anschaulich diese Methode auch im 

 einzelnen Fall sein mag, so wenig befriedigend ist sie doch vom 

 mathematischen Standpunkte. Hiezu kommt, dass die Anschaulichkeit 

 im Vierdimensionalen sowieso auf Schwierigkeiten stösst, ganz abge- 

 sehen davon, dass nur den einfachsten vektoranalytischen Begriffen 

 ein anschauliches Korrelat entspricht. 



Wir zeigen nun zunächst am Beispiele des Vektors und der mit 

 ihm verknüpften Hegriffe den Unterschied der Methoden. 



I. Gewöhnliche Vektoranalysis. Der vierdimensionale eukli- 

 dische Raum sei bezogen auf rechtwinklige Koordinaten, in denen 

 das Linienelement die Form 



(1) ds^ = dx\ -r rf.^l -!- d.i% + dx\ 



hat. Eine Drehung des Koordinatensystems ist dann bekanntlich ge- 

 geben durch eine orthogonale Substitution 



deren Auflösung 



(2 a) x,=^p!,j-i 



ist. ') Vier Funktionen 



-1. (•^'i j ^21 -^'a' '''4) 



bilden dann die Komponenten eines Vektors, wenn sie sich bei einer 

 Drehung des Koordinatensystems transformieren wie die rechtwink- 

 ligen Koordinaten selbst, also nach den Formeln 



(3) Ä,.=2V>.A,. 



Die rechtwinkligen Koordinaten selbst sind dann auch Vektor- 

 komponenten, wie auch ihre Differentiale. Das Linienelement (1) 

 erweist sich (wegen der Orthogonalität der Substitution (2j) als ab- 

 solute Invariante (Skalar) und allgemeiner gehört zu jedem Vektor A 

 ein Skalar 



nämlich das Quadrat seines Betrages. 



') Alle Suminalionsindizes laufen hier wie in den übrigen Summen von 1 bis 4; 

 alle festen Indizes können die Werte I bis 4 annehmen. 



