.Mallioniatische Bejri ifTsMIduiiReii zur Gravilatioiistlieurie. ;i93 



Von besonderer Wichtigkeit sind nun in der theoretischen Physik 

 die Differentialoperationen der Vektoraniiiysis. So erhält man 

 aus einem Vektor A einen Skalar, seine Divergenz, durch die Diffe- 

 rentialoperation 



"•'^ "* " Ox, "^ dx, "^ dx, ' dx, ' 



Man verifiziert die Richtigkeit dieses Satzes durch Ausführung 

 der ortliogonalen Substitution ; gewöhnlich beweist man den Satz (im 

 Dreidimensionalen) aber folgendermasseii : Man denkt sich den Vektor 

 A als Geschwindigkeitsvektor im Strümungsfeld einer inkompressibeln 

 Flüssigkeit. In dem endlichen Haumgebiete S, begrenzt durch die 

 Oberfläche ö, seien einzelne (Quellen und Senken. Berechnet man ihre 

 Ergiebigkeit im Gebiete >'. also die Flüssigkeitsmenge, die in der 

 Zeiteinheit die Oberfläche ö durchströmt, so findet man nach Anwen- 

 dung des Gauss'schen Integralsatzes 



( A„d6^ l'div A-dS. 



Damit ist die Divergenz als eine vom Koordinatensystem unab- 

 hängige Grösse nachgewiesen. 



II. Allgemeine Vektoranalysis. Man kann nun aber diese 

 und andere Begriffe und Sätze der Vektoranalysis auf befriedigendere 

 Art ableiten und gelangt dazu, indem man zunächst beliebige krumm- 

 linige Koordinaten einführt. Das Linienelement hat dann die Form 



(,1) ds- =^ gn- dXi dxi. , 



worin die Grössen //,< Funktionen von x^, x^, x-^ und x^ sind. Die 

 Allgemeinheit dieser quadratischen Differentialform ermöglicht es, ab- 

 zusehen davon, ob der vorliegende Kaum euklidisch oder nichteukli- 

 disch oder gar von variabelm Krümmurigsmass ist. Transformiert 

 man die Koordinaten nach den Formeln 



3?i- ~ tX-|. l *** I j tX^ ) ** 3 1 w^ ) f 



transformiert man also die Differentiale der Koordinaten nach den 

 Formeln 



(,2) dx,. =^ g^- dx'i =^ p,i dx'i 



oder 



t,2 a) dx',. =^ g — dXi =^ jr,,. rfx, , 



