■294 Marcel Grossniann. 



SO transformieren sich, sofern das Linienelement {l ) ein Skalar sein 

 soll, dessen Koeffizienten nach den Formeln 



(3) g'.=^i)ir'ih.y,i.-- 



i I.- 

 Ist g die Diskriminante der Dififerentialform (1), also die 

 Determinante \gik\i und bezeichnet man mit y,;, die durch g divi- 

 dierte, dem Elemente g^ adjungierte Unterdeterminante derselben, so 

 transformieren sich diese Grössen yn- nach den Formeln 



(4) y'rs=^ ^ir^^ksYn- 

 Unter einem ko Varianten Vektor ^4 verstehen wir nun den 



Inbegriff' von vier Funktionen 



wenn diese sich transformieren nach den Formeln 



Unter einem kontravarianten Vektor ® verstehen wir da- 

 gegen den Inbegriff von vier Funktionen 



(5) ®i{x^,x^,x■i.x^), 

 wenn sie sich transformieren nach den Formeln 



(6) 0;.=^;r„. 0,. 



Aus diesen Definitionen folgt, dass die Koordinaten selbst keine 

 Vektoren mehr sind, dass dagegen ihre Differentiale, wie Gleichung (2 a) 

 zeigt, die Komponenten eines kontravarianten Vektors sind. Weil 

 bei einer orthogonalen Substitution /),,== Jr,-, ist, fällt der Unterschied 

 zwischen Kovarianz und Kontravarianz in der gewöhnlichen Vektor- 

 analysis dahin, während dieser Dualismus in der allgemeinen Vektor- 

 analysis von grundlegender Bedeutung ist. 



Sind A und B zwei kovariante Vektoren und bilden wir aus 

 ihren KomiDonenten die 16 Grössen 



Ta = A,B,, 



so transformieren sich diese nach den Gleichungen 



(7) r;,,=^i>,.,.^j..ra. 



