Mallieiiiatische BegrilTsliildungeii zur (inivilatioiislheoiie. 2'.)5 



Allgemein nennen wir den Inbegrid' eines derartigen Systems 

 von IC) Grössen mit diesen Transformationseigenschat'ten einen ko- 

 varianten Tensor zweiten ixanges (letzteres wegen der zwei 

 Indizes, die seine Komponenten charakterisieren). Die Grossen g^ 

 bilden daher einen kovarianten Tensor zweiten Ranges, wie Gleichnng 

 (^:}") zeigt; wir nennen ihn den kovarianten Fundamentaltensor. 

 In leicht verständlicher Analogie werden wir die Grössen y,; als 

 Komponenten des kontravarianten Fundamentaltensors be- 

 trachten. 



Man kann nun allgemein als kovarianten Tensor vom Hange k, 

 den Inbegriff eines Systems von Funktionen T/^i,^ j. definieren, wenn 

 diese sich transformieren nach den Formeln 



(8) K^r....r>-2Pi..,P:^r.---Pn.n^\>.->,- 



Analog bilden ö,^,., ,. einen kontravarianten Tensor vom 

 Range A, wenn die Transformationsformeln lauten: 



(9) 0,' ,. ,. = y Jt: ,. n:,- ,. . . . 71:. ,.. &: : :.. 



Endlich können wir diese beiden Begriffe zusammenfassen unter 

 dem Begriffe des gemischten Tensors, kovariant vom Range A, 

 kontravariant vom Hange fi, wenn die Transformationsformein lauten: 



(.10' Kr,...ns,s,....,= 



=r^ Pi, n P',r, ■ ■ • Pi;,,;, • ^h,s^ %,«, ■-■^hij>,- ^,\i,...i,, l,;l.-,...l.„ ■ 

 k,kl...k-). 



Derartige kovariante Systeme, wie wir sie jetzt als Tensoren 

 bezeichnen, spielen in der Transformationstheorie von Christoffel 

 eine grosse Rolle; wir müssen ihr noch einen zum Aufbau der allge- 

 meinen Vektoranalysis wichtigen Satz entnehmen. Christoffel hat 

 gezeigt, dass man durch eine einmalige bestimmte Differentialoperation 

 immer von einem Tensor vom Range A zu einem gleichartigen vom 

 Range A -i- 1 gelangen kann. Für unsere Zwecke genügt es, anzu- 

 geben, wie die Differentialoperation lautet, die aus einem kovarianten 

 Vektor A (d. h. aus einem kovarianten Tensor ersten Ranges) einen 

 kovarianten Tensor zweiten Ranges hervorgehen lässt, weil wir 

 auf diesem Wege zum Begriff der Divergenz eines kovarianten 

 Vektors gelangen. Diese Dififerentialoperation („Erweiterung" > lautet : 



