80 De' Punti singolari delle Curve Piane 



che tutti poneva in vista sì fatti punti nelle diverse posi- 

 zioni delle tangenti loro. Il perchè inetto fuori questo breve 

 dettato su tale obbietto. Fra i punti singolari noverami i 

 massimi e i minimi, di cui me la passerò facendo solamente 

 osservare , che i valori di x , i quali vi corrispondono , e 

 che d'ordinario ripetonsi dalla sola ecpiazione f [x) = o, 



possono eziandio esser radici dell'altra ,., , , = o, come 



rendesi aperto dalle fig.° i .* e a." Nò pur toccherò i punti 

 multipli né gì' isolati , contentandomi di asserire , che que- 

 sti ultimi, siano fuori o su rami di curva, non hanno giam- 

 mai tangente né circolo osculatore; che che ne senta un 

 insigne geometra. 



Alla determinazione poi degli altri punti singolari mi 

 gioveranno le infrascritte cose. 



i .° Sia M un punto della linea data dall' equazione 

 /=/"(.r), il quale abbia per coordinate a e /?; se f(a-hh) 

 e f" (a-\-h), derivata seconda di f(a-i- h) presa rispetto alla 

 A, siano del medesimo segno, il ramo alla destra del punto 

 M , per cui h suppostesi positivo, volgerà la convessità all' 

 asse delle ascisse; se di segno contrario, la concavità. Lo 

 stesso vale per f(a — h) e f" (a — h>) che appartengono al 

 ramo che trovasi alla sinistra di 31. 



a.° Le derivate 7',/", — , nella supposizione x=a, ot- 

 tengonsi colf eseguir successivamente la derivazione riguardo 

 alla h, su f(a-i-h) e porre dappoi ne' risultamenti h=o. 

 Se fosse /(oc — //), avrebbesi/'"'^» — /i)=±/* (m) (a), posto h=o. 

 Se m sia pari, prender debbesi il segno superiore, e se di- 

 spari , F inferiore. 



3.° Ordinando la serie, che f{a-\-h) rappresenta, se- 

 condo le potenze crescenti di h, riesce sempre possibile un 

 valore bastantemente piccolo di questa quantità , per cui 

 un termine qualunque della serie stessa superi la somma di 

 tutti i seguenti. 



