Memoria del Sic Pbof. Gio. Francesco Cremona. 8i 



Da queste aperte verità con agevolezza la determiua- 

 zion derivasi de' punti di flesso e di regresso della prima 

 e della seconda specie. Ed a porlo in evidenza pongasi mente 

 che se/(a-H//) ridur si possa in una serie ove gli esponenti 

 della ìi siano i numeri naturali i , 2, 3, . . . . , non interrotti, 

 la linea si stenderà dall'una parte e dall'altra del punto M 

 senza quivi presentare singolarità veruna, e di conseguenza 

 il punto M non riuscirà singolare. Laonde sì fatti punti 

 ripeter debbonsi dall'essere in difetto la serie di Taylor 

 per /"(a-i-//), o vero dal mancare alcuno de' suoi primi ter- 

 mini. Questa mancanza mette in palese i massimi e minimi, 

 ed anche i punti di flesso. Non conviene però inferire che 

 al prefato difetto corrispondano sempre punti singolari ; 

 avvegnaché ci si offriranno delle circostanze per cui la cor- 

 rispondenza non sussiste. 



Onde recare a novero i punti di flesso e di regresso di 

 ambedue le specie per qualunque posizione della loro tan- 

 gente, supporremo 



I.° Che la serie, da cui f(a-\-h) vien rappresentata, 

 non contenga esponenti rotti della h di denominator pari. 

 II. ° Che contenga esponenti rotti della h di denomi- 

 nator pari. 



Pongasi f(a-hh)=(ì-t-Ah a -+-Bh'-+- , 



ove a , b , . . . . , sono disposti per ordine di grandezza 

 crescente, e che saranno da noi tenuti per positivi; poiché 

 se ve n' avesse de' negativi sarebbe fi=f(a)=oo* cioè il 

 punto M infinitamente discosto dall'origine; nel mentre che 

 ci proponiamo la ricerca de' punti di flesso e di regresso che 

 ne siano a determinata distanza. Nessuno de' coefficienti 



poi A, B, , può essere immaginario; altrimenti il 



punto M sarebbe isolato e fuor de' rami della curva. 



Facendo principio dal I.° fa mestieri osservar prima- 

 mente che veruna delle quantità /z a , A 4 ,..., potendo riu- 

 scire immaginaria, qualunque segno diasi alla h, la curva 

 avrà due rami, uno alla destra corrispondente a f(a-i-h), 

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