8a De' Punti Singolari delle Curve Piane 



e l'altro alla sinistra, che a f(a — A) corrisponde. L'ordi- 

 nata /? sarà per noi positiva, giacché i ragionamenti non 

 muterebbero se fosse negativa. 



Ciò posto novereremo sei circostanze del I.° caso 



m 



i." Sia a=— <i, essendo m numero dispari, e si avrà 



// 



f(a-hh)=:(}-hAh~. 



/'(a- + -/0 = ^/" I - t -..., 

 />-4-A) = ^(^- x\a£~\ 



onde y = co, e peròy = co. L'ordinata adunque sarà 

 tangente del punto M ; ed avrassi il raggio di curvatura 



( i -+-y a ) r co o 



y" co o 



Se A è positiva, f"(a-\-h) riesce negativa, ef"(a — A) 



positiva. Ma le ordinate f(a-4-h) = /?-»- Ah~ .+. . . . . , 



m 



f( a — «)=0 — Ah" _|_ . . . 9 per un opportuno valor di A ren- 

 der si possono amendue positive, tale essendo /?, per ipotesi: 

 dunque /(a-t-A) e f" (cc-f-A) hanno segno diverso, e di 

 conseguente nel punto che alla ascissa a-f-A corrisponde, la 

 curva rivolge la concavità all' asse delle ascisse. Avendosi 

 poi f(a — A) e f" (a — A) del medesimo segno, nel punto 

 che ha per ascissa a — A, la convessità guarda l'asse mede- 

 simo. Accaderà il contrario se abbiasi A negativo. Quindi 

 secondo che A è positivo o ver negativo succede un flesso 

 a tangente perpendicolare come nelle fig.' 3.* e 4-' 



2,.* Sia ancora a = — < i , ma m numero pari, e cotal 

 n 



sarà pure m — are, senza che esser possa m — are=o; poiché 



s'avrebbe m = -in, contro la supposizione. Sarà dunque 



