Memoria del Sic. Prof. Gio. Francesco Cremona. 83 



y'=:co,/" = co ed r =— . Dal segno di A dipende quello 



che è comune a /" (<x-i-/j) e a f" (a — h). Se abbiasi A po- 

 sitivo, la curva da una parte e dall'altra del punto M rivolge, 

 la concavità all'asse delle ascisse; rivolgendovi la convessità, 

 se negativo. Si ha dunque in M un regresso della prima 

 specie a tangente perpendicolare all'asse delle ascisse, come 

 nelle fig.' 5.* e 6.' Riuscirà utile l'osservare che i punti di 

 regresso sono punti multipli. 



3.* Sia a > i , essendo a numero intero dispari , o vero 

 una frazione di numerator dispari , e ne verrà 

 / (a-H/i) = 0-H^/l'-4- , 



/' ( a-hk ) = aAh— ' -+- , 



f"(a-hh) = a(a— i) Ah*->-+- . . . . , 

 e quindi y'—o; per cui la tangente del punto M riesce 

 parallela all'asse delle ascisse. Se a > a, , si ha j" = o, 

 se a < a , j" = oo; e corrispondentemente r=co, r = o. Es- 

 sendo \ìoì f" (a-t-h) positiva ef" ( a — h) negativa, quando / 

 è positivo, ed il contrario quando A è negativo, risulta un 

 flesso a tangente parallela all'asse delle ascisse, come nelle 

 fig: 5.' e 6.' 



Nella supposizione di a numero intero non cessano le 

 medesime cose, benché la serie da cui f (a-ì-h) vien rap- 

 presentata non contenga esponenti rotti di h; il che ri 

 palesa un flesso a tangente parallela all'asse delle ascisse 

 corrispondere alla mancanza de' primi termini della serie 

 anzidetta. Laonde, essendo j'=o, si ha un massimo o un 

 minimo , o vero un flesso ; secondochè la prima delle deri- 

 vate che non diventa zero è d'ordine pari o dispari. 



4-* Sia a > i , essendo a numero pari , o pure una fra- 

 zione di numerator pari ; lo che ci dà /' = o , e però la 

 tangente del punto M parallela all'asse delle ascisse. Allor- 

 ché abbiasi a eguale ad un intero, riesce sempre y"=.o. 



salvo se a=a, cui corrisponde y"—2.A. Quando poi a= — , 



