84 De' Punti Singolari delle Curve Piane 



risulta y =o, se — >a, o vero y =co, se — <a; e com- 

 n n 



spondentemente r= — - , r=co, ed r=o. Il segno comune di 



f" (a-i-h) e di f" (a — h) dipende da quello di A, che dà 

 luogo alle situazioni della curva rappresentate dalle fig.' 7.' e 8.* 

 Se la serie @-¥- Ah*-*- . . .non contenga esponenti rotti 

 di h , non vengono perciò meno i fatti ragionamenti ; ed 

 essendo a numero pari , ha luogo un massimo o un minimo. 

 5.* Sia a=i e b numero pari, o vero una frazione di 

 numerator pari , e si ha 



f ( a+h ) = (ì-*-Ah-+-Bh t -4-... , 



/' (o-t-A) = A+bBK—-*? , 



f'(a-*-h) = b{b—i) M 6 -*-+-. . . , 

 e di cpiì y' = A, ed y" = 0, o vero y" = co, o pure/"=2Ì?; 



3 



e corrispondentemente 7-= co, r=o ed r= v — ■!■ — Il se- 



2. B 



gno comune di f" (a-\-h) e di f" (a — h) dipende da quello 



di B. Se questo è positivo, da una parte e dall'altra del punto 



31 la curva volge la convessità all'asse delle ascisse; e la con- 

 ci 



cavità, se negativo, senza ivi presentare singolarità veruna. Può 

 dunque accadere che la serie di Taylor sia in difetto per 

 f(a-*-h) senza che all'ascissa a corrisponda punto singolare. 



6." Sia a—i e b numero intero dispari, o frazione di 

 numerator dispari, e si avrà y'z=A, y" = o vero jy"=co; 

 ed in conseguenza r=co ed r=o, secondochè i>a,oi<2. 

 Saranno poi /" (a-r-A) e f" (a—h) di segno diverso: onde B 

 positivo origina un flesso come nella fig. a q.% e negativo , 

 come nella fig." io." 



II. ° Quando la serie che rappresenta f(a-ì-h) con- 

 tiene esponenti rotti di h di denominator pari. 



In questo caso la curva si stende con due rami a cagione 

 del doppio segno del radicale di indice pari , ma da una sola 

 parte del punto M. Suppongasi essere alla destra , essendo 

 f(a-hh) reale e di conseguente /( a — h) immaginaria. 



