6 Su LE OPERAZIONI INVERSE CC. 



Generalmente il dividendo non contiene esattamente il 

 divisore, e si vuole conoscere il maggior numero di volte che 

 questo è contenuto in quello, non che 1' eccesso del dividendo 

 sul vero prodotto. Siccome le ultime cifre del dividendo dipen- 

 dono in parte dalle cifre del vero prodotto, in parte da quelle 

 della differenza incognita, la quale può essere qualunque intero 

 più piccolo del divisore, non è possibile desumere dalle cifre 

 minori del dividendo le minori del quoto, epperò bisogna in- 

 vertere r ordine della operazione, come insegna il metodo co- 

 mune, al quale crediamo di poter surrogarne altro che prendo 

 a dimostrare. 



Devo prepararmi alcune premesse la prova delle quali si 

 semplifica impiegando i segni dell' algebra. 



Indico con A un numero maggiore di un altro B, non di- 

 visibile per questo; chiamo Q il quoto, B, il resto della divi- 

 sione per cui A = BQh-B, = B(Q-hi) — (B — B,). 



Dimostrerò che uno almeno dei prodotti BQ,B(Q-f-i) 

 ha tante cifre a sinistra identiche con altrettante di A, quante 

 sono quelle di Q meno una, ovvero due di meno. 



Suppongo BQ=am am—i an-»-i a„ Ca Oi 



Bi = bn babi . 



Sommando questi numeri, se <z„_^i-<9, le cifre a^^.^, a„_^3 ... <z„, 

 in numero m — n — i saranno le stesse nei due numeri BQ, 

 BQ-hB,=A. Ma se B ha ?z cifre, Q ne ha r, BQ ne avrà 

 ra-f-r ovvero n-^-r — i, quindi essendo m = n-i-r, r=m — n\ 

 se m = n-\-r — i, r=m — n-+-i. Dunque il prodotto A avrà 

 tante cifre a sinistra identiche con altrettante cifre di BQ, 

 quante sono quelle del quoto Q meno una ovvero meno due 

 secondo che m = n-^-r, o m = n-{-r — i. Ma la cifra a„^, del 

 prodotto BQ, e molte altre che la precedono a sinistra ponno 

 essere tutte eguali al numero 9, dippiìi fl„-f-è„ col porto do- 

 vuto alle somme antecedenti a^-hb,, a^-^-b^ essere non 



minore di io. 



