36 Di un facile problema di Geometria ec. 



tutti i valori dal più grande S(A) al più piccolo S(B). Essendo 

 M intevdo al poligono sarà S (M) > S (A) se si prende nel pro- 

 lungamento di AB da B verso A, e viceversa. Se il punto M 

 si trova dalk parte di un lato r opposta a quella dalla quale 

 giacciono i punti A, B alle equazioni (3) sostituiremo le (4). Se 

 la retta AB è talmente disposta che siano S(A) = S(B) ovunque 

 si prenda M nell'interno del poligono sarà S(M) = S(A) = S(B). 

 Le somme S(i), 8(2), .... che corrispondono ai vertici i,fi, 3.... 

 non possono crescere e decrescere più volte, cioè non ponno 

 esistere molti vertici ai quali corrispondano valori massimi e 

 minimi di quella sommatoria discontinua: perchè se due somme 

 S (r), S {r-¥-t) fossero minime per cui 



S [r-o) > S (;•-!) > S (.)< S (r-Hi) < S (r^-a) 



S {r-^t—2) > S [r^t—ì] > S (r-t-^) < S {r-^t-^-\) < S (r-Hi-t-a) .... , 



siccome S (r-+-i) , S (rH-a) crescenti nella direzione dei 



vertici 7-, r-t- I , r-+-2, si fanno poi decrescenti, essendo 



S(r-t-^ — i) > S(r-+-^), fra il vertice r ed r-t-f ve ne sarà almeno 

 uno di massimo tanto nella direzione r, r^-i, r-na... come nella 

 direzione opposta r — i, r — a, ;• — 3 Il primo massimo cor- 

 risponda al vertice r-^-t — u ed il secondo al vertice r-f-^-t-u. 

 Immagino le diagonali del poligono che uniscono ogni vertice di 

 minimo con ogni vertice di massimo. Siccome il valore della som- 

 matoria S corrispondente ai varj punti di ognuna delle diagonali 



r, r-\-t — u ; r, r-+-t-\-v ; r-f-?, r-^t — u ; r-*-f , r-^t-^-v 



varia rispettivamente fra i limiti 



S(r), ^{r^t—u); S (r), S (r-H^-f-u) ; S (r-t-?), ^{r^t—u); 



S(r-f-#), S (r-t-^-t-u) , 



se S (r-t-?) non < S (r), S {r-^t-+-v) non < S [r-Jft—u) ; indicata 

 con X una quantità positiva e tale che sia 



X > S {r-^t) > S (a), X < S {r^t—u) < S [r-^t^v) , 



in ciascuna di quelle diagonali esisterà un punto suscettibile 

 di una somma della grandezza X : epperò tanto alle rette che 



