Del Sic. Prof. Gaspare Mainardi 3 7 



uniscono quel punti, come a tutte le infinite che le incontrano, 

 e ad ogni punto preso nell' interno e nel contorno del poligono 

 corrisponderebbe una somma del valore costante X : il che ha 

 luogo unicamente nei poligoni regolari. Dunque percorrendo il 

 contorno del poligono o troveremo un solo punto di massimo 

 ed uno di minimo, conseguenti, cioè corrispondenti agli estremi 

 i,rn di uno stesso lato 7~rn-, se S(i) < S (a) < S(3) .... < S(w) , 



oppure essendo S (i) < S (2) . . . . < S(r) > S (r-Hi) > S (/•-Ha) 



>S(ff2)>S(r) i valori massimo e minimo S(r), S(i) corrispon- 

 deranno ai termini di una diagonale 7^. Ma i punti di mas- 

 simo e minimo potranno essere due per ciascuna specie ed 

 ogni copia corrisponderà agli estremi di un lato. 



Queste considerazioni dimostrano ancora che a nessun punto 

 interno del poligono può corrispondere una somma minore 

 della minima S(i), né maggiore della massima S (/■) , perchè 

 unito quel punto, che chiamo M col vertice i e prolungata la 



retta congiungente fino ad incontrare un lato t 1 , t in un 



punto N, se S(M)<;S(i) la somma decresce dal punto i 

 verso M, sarà S(i) > S (M) > S(N) , ed S(N) non è media fra 

 S(f— I) ed S(^). 



Indicata con S una quantità maggiore della minima S(i) 

 e minore della massima S {tn) ovvero S [r) , nel primo caso S 

 sarà compresa fra due valori conseguenti S (i), S (a), S (3) . . . . : 

 se S(?), >S>S(^ — i) tanto nel lato t~i,t come nell'altro 

 i,m esisteranno due punti, che indico rispettivamente con M, N 

 suscettibili della somma S, la quale avrà lo stesso valore per 

 tutti i punti intermedi ^i^lla retta che li congiunge. Siccome 



s=s(^_i)-+.4^[S(o-s(f-i)]=s(.)-f-^[SH-s(i)], 



ove i segni t — i, M; i,N rappresentano le lunghezze delle 

 rette terminate ai punti t — i,M; i,N; ne segue 



j== [sw-s(^-i )]-=== [SH-s(i)] + [S(^-i)_S(i)]=o, 



la quale equazione, indipendente dalla grandezza S, insegna 



