aa4 Su DUE LIBRI DI Apollonio Pergeo ec. 



Quest' ultimo problema, il primo, e quello di un solo se- 

 micerchio e la retta, distinti ne' loro casi, e con le rispettive 

 determinazioni componevano il primo degl' indicati due libri ; 



la soluzione, variando la posizione del punto, non avessero fatto ancor lo stesso pel 

 semicerchio e la perpendicolare al diametro, e pe' due semicerchi, variando il punto di 

 tendenza. E giova qui recare la soluzione del primo di questi, per comprovare il detto 

 di Pappo, di esser tali problemi utili a grandi applicazioni. 



Problema. 

 Dati di posizione il semicerchio POV ( fig. 1" ) e la perpendicolare AR al diametro 

 di esso: inclinare tra la semicirconferenza e la perpendicolare la retta RB di data gran- 

 dezza, tendente al punto G dato nel diametro. 



Soluzione. 

 Dal punto B che si cerca, si ordini nel semicerchio la BF, e si tiri al centro C la 

 BC. Pongasi G^zzx, RB = 6, e quindi GR = 6-«-a!, GA = o, GC=:c, CB=:r; 



sarà, pe' triangoli simili GAR, GFB, GR: GA:: GB: GF=:^^; e però 



CF=:GF — GC = r^^ e. Ma GB* = GC* -^- GB» h- 2CG X CF. Adunque sarà 



b-t-x 



ne' loro simboli 



2acx „ , 



OH- a; 

 equazione che convenevolmente ridotta diviene 



X 



-)-6a;*.4-(c» — r' — 2oc)a;-»-(c» — r»)6 = 0. 



La quale ne mostra esser solido il problema in tal caso; ed in essa ponendo c^r, 

 cioè supponendo il punto G starne in P, si ha x^-t-bx — 2oe=:0, corrispondente 

 al problema piano di Apollonio. 



Scoi. Essendo GB» ■+■ GG» = CB»-»-2FGXCG; sarà , toltevi rispettivamente le 

 uguali grandezze CO» e GB», GB» — GÓ» = 2FG X CG . E moltiplicando il primo 

 membro di questa equazione per GB-hBR, ed il secondo per GR, n' emergerà 



GB* -H BR X GB» - GO» X GB — BR X GO* = 2FG X CG X GR. 

 Ma essendo GF : GB: : GA: GR, si ha FG X GR = GB X AG; e quindi 

 2GFXGRXCG = 2GBXAGXCG. Che però sostituendo questo secondo prodotto 

 al primo nella precedente equazione, esso diverrà 



GB* -(- BR X GB* — ( 2 CG X AG -H GO» ) G B — B R X G^* = 0; 

 che coincide con quella del problema risoluto, e che potrebbe tradursi in un geome- 

 trico teorema, qual fu proposto dal Newton, per ridurre la costruzione delle equazioni 

 cubiche ad applicare una retta data tra «n cerchio ed un' altra retta dati di sito, in modo 

 che r applicala pasti per un punto dato ( App. de aequo const. lin. n. XXXIV. ). 



