34 Sulla classificazione delle curve ec. 



l'intersezione di AA", DD", ed S" di AA', DD'. (Nella fìg. 8.^ 

 i punti S, A', A", D sono a distanza infinita ) . — Il triangolo 

 DD'D" è inscritto nel triangolo A A' A", e questo lo è nel 

 triangolo BB'B". Si ha pure un triangolo QQ'Q' inscritto nel 

 triangolo VW". I cinque triangoli hanno i lati corrispondenti, 

 che si tagliano nei flessi S, S', S", ed hanno i vertici corrispon- 

 denti sulle rette JQABVD, JQ'A'B'V'D', JQ"A"B"V"D". 



io6. Le parti della retta JAVD danno il rapporto 

 AV.JD: JV.AD, che si dice projettivo (5. 12,.), perchè 

 esso si mantiene invariato in tutte le projezioni, cioè in tutte 

 le figure tra loro collineari. Col mezzo della parabola diver- 

 gente, che ci serve di tipo {$. 100. ) si verifica che 

 AV.JD: JV.AD = A'V'.JD':JV'.A'D'=A"V".JD":JV".A"D"=g»; 

 quindi permutando un flesso coli' altro non si cangia il para- 

 metro generico g, il quale determinato per ciascuna curva 

 particolare sarà un carattere distintivo di tutte le curve ad 

 essa collineari, cioè che formano un solo genere. — Conoscendo 

 g e conoscendo i tre flessi e le loro tangenti, i precedenti rap- 

 porti daranno il modo di determinare i tre vertici V, V, V". 

 107. Il Newton, e dopo di lui il Clairaut ed il Nicole 

 ( Hist. de l'Acad. des Sciences pour 1 78 1 ) ammisero che tutte 

 le curve del terzo ordine possano originarsi coli' ombra delle 

 cinque parabole divergenti della categoria i. Noi infatti ve- 

 demmo che dalle tre parabole I. i, II. i, III. i derivano per 

 collineazione tutte le curve del terzo ordine baricentrico ; ma 

 ci limangono poscia le parabole espresse dall' equazione 

 y^ =z x^ -h 2. n x'' -i- X , e queste non sono già due sole, bensì 

 infinite distinte per differente valore di n, e tali che una non 

 può mai convertirsi per colhneazione nell' altra. Sicché non 

 sarebbe giusto il dire che, come dato un circolo se ne possono 

 dedurre coli' ombra tutte le sezioni coniche, così pure descritte 

 cinque parabole se ne possono dedurre tutte le curve del terzo 

 ordine. — Che se si dicesse che veramente le due ultime pa- 

 rabole non sono due sole, ma si riducono a due gruppi, ognuno 

 espresso da quella unica equazione secondo che re' < i oppure 

 « > I ; a ciò si risponderebbe che la differenza di forma più 



