ao6 Sui criterj di integrabilità ec. 



Bordoni in una delle sue Lezioni di calcolo sublime, nella 

 quale si rinvengono trovate assai semplicemente le n equazioni 

 da sostituirsi alla (i). Nella medesima lezione, l'Autore osserva 

 che quelle n equazioni non saranno essenzialmente digerenti 

 fra loro, e considerando il caso in cui la funzione proposta sia 

 alle derivate del terzo ordine diiuostra che delle tre equazioni 

 che si ottengono dalla (i), due sole sono essenzialmente diffe- 

 renti fra loro. In progresso di tempo i geometri Raabe e Joa- 

 chimsthal giunsero per vie differenti a quella decomposizione, 

 e dimostrarono che delle n equazioni che ne risultano, le essen- 

 zialmente differenti sarebbero — -i- i od ^^-^ secondo che n 



3. 2, 



è pari o dispari. (*) 



In questa nota, partendo dalle formole del Prof. Bordoni, 

 determiniamo quelle equazioni che essendo essenzialmente dif- 

 ferenti fra loro, sono i veii criterj per 1' integrabilità della 

 funzione proposta, ed il metodo adoperato ci condurrà ad altre 

 equazioni le quali si ponno assumere come criterj di integra- 

 bilità, e che in moltissimi casi particolari saranno più semplici 

 delle prime. Dimostriamo in seguito come una analoga decom- 

 posizione eseguita sulle equazioni isoperimetriche conduca ad 

 un interessante risultato ottenuto recentemente dal Sig. Ostro- 

 gradsky, pel quale risultato 1' integrazione di quelle equazioni 

 è ridotta a quella di equazioni alle derivate del primo ordine; 

 affatto analogamente a quanto già fecero Hamilton e Jacobi 

 per le equazioni della dinamica. 



La funzione V supposta derivata esatta dovrà essere della 

 forma 



Y = q -+■ a;(") p 



essendo q, p funzioni delle sole t^x^x x^""''. Questo va- 

 lore di V riduce la (i) alla 



^ ' -' L^x("-'^ f/x("-''J \ilx dx\ 



(*) Lezioni di Calcolo Sublime del Professore Antonio Bordoni. Milano. Anno 1831. 

 Tomo 1°, pag. 407. — Giornale del Sig. Creile. T. 31, 33. Anno 18i6. 



