Memoria del Prof. Giusto Bellavitis 287 



che prima di me alcuno avesse pensato di estendere tutti questi 

 teoremi ai punti di un piano. Ciò risulta dal seguente teorema, 

 che è una conseguenza immediata dei principii del metodo delle 

 equipollenze, e che è un primo ed osservabile esempio dell'uso 

 di questo metodo per giungere direttamente e senza bisogno 

 di costruzioni geometriche a moltissimi teoremi, cui non sa- 

 rebbe stato facile trovare per altra via. È però vero che tali 

 teoremi sono nella loro generalità troppo complicati per meri- 

 tare d' essere considerati, e limitandosi a casi particolari e sem- 

 plici si cade in teoremi già conosciuti ; essendo molto impro- 

 babile che una verità semplice ed elementare sia sfuggita alla 

 ricerca di tanti Geometri. Ecco il 



Teorema generalissimo. Qualunque proprietà dei punti di 

 una linea retta dà un teorema dei punti di un piano col solo 

 cangiare le equazioni in equipollenze. 



2,5. Prendiamo per esempio la formula algebrica 

 Z* ( è -f- 2c) -I- e* = (è -t- c)% la quale conduce alla 6.* propo- 

 sizione del libro II. d'Euclide: Se una retta BD sia divisa 

 per metà in C, cioè sia BC = CD, e nella sua prolungazione 

 vi sia un punto qualunque A sarà AB. AD-h(BC)^ = (AG)*. 

 Per verificare questa equazione, e nello stesso tempo assicu- 

 rarci se le rette sieno indicate ( §• a ) nel modo opportuno ( al 

 che un tempo non si badava, ma che nel metodo delle equi- 

 pollenze è osservazione indispensabile ) facciamo le sostituzioni 

 insegnate nel §. 11, ed osserviamo se veramente la (AZ — BZ) 

 (AZ — DZ)-h(BZ— CZ)» = (AZ — CZ)" sia resa identica 

 dall'ipotesi BC = CD, cioè di BZ — CZ = GZ — DZ. 

 Ciò verificato noi siamo tosto condotti al teorema. Se un lato 

 B D del triangolo A B D ( Fig. 5* ) sia diviso per metà in C, sussi- 

 sterà sempre V equipollenza AB.AD-t-(BC)»-HAG.CA£:ho; 

 cioè si potrà costruire un triangolo i cui lati sieno rispettiva- 

 mente proporzionali ai prodotti AB. AD, (BC)', ACCA, 

 e le cui inclinazioni sieno rispettivamente ine A B -t- ine A D , 

 a.incBC, ine AC -4- ine C A = a. ine AC ±: 180°. —Questo 

 teorema può dimostrarsi anche con altro calcolo molto spedito: 



