Memoria del Prof. Giusto Bellavitis aSg 



ag. La formula bd -+- {b -i- i -¥• d) i z= (b -^ i) {i •+■ d) 



e' insegna che per quattro punti in linea retta si ha 

 AB.lD-(-AD.Bl£:bAI.BD, il che può verificarsi come 

 dicemmo ai 55. 1 1 , a5 ; perciò { §. 2,4 ) • Teorema. Per ogni 

 quadrilatero ABID ( Fig. 6.*) ha luogo l' equipollenza 

 AB.ID-f-AD.Bl-t-AI.DB :0= o ; cioè può costruirsi un 



triangolo i cui lati sieno rispettivamente proporzionali alle gran- 

 dezze di quei prodotti, ed abbiano le inclinazioni eguali alle 

 inclinazioni dei prodotti stessi; abbiamo già detto (5- 16) che 

 ine (AB. ID) = ine AB -*- ine ID, ecc. 



3o. Anche questa volta discenderemo a casi particolari 

 supponendo che il triangolo menzionato nel teorema divenga 

 una linea retta, oppure un triangolo o rettangolo, od isoscele, 

 od equilatero. CoroU. 1°. Se ine ( AB . ID) = ine ( AD. BI) 

 il 3.» canone dà gr ( AB . ID ) -f- gr ( AD. BI) = gr ( AI . DB). 

 Ora (§. i5) ine AD — ine AB = ang. BAD, 



incIB — ine ID = ang. DIB, perciò ( §§. i5, 16) la predetta 

 condizione è identica alla ang. BAD -H ang. DIB= 180° ed 

 abbiamo il teorema Tolemaico. Nel quadrilatero in cui gli an- 

 goli opposti sono supplementari il prodotto delle diagonali egua- 

 glia la somma dei due prodotti dei lati opposti. '^^*t(>^ -f^* 



3i. CoroU. 2°. Se invece sia > 01 t 1 1 :t (•i^r.riii.ìt; ;' 

 ine (AB.ID) — ine (AD.BI) = =t:9o"',- ossia ang. BAD -f- 

 -t- ang. D I B = ;±r go° ± 180° il triangolo espresso dall' equi- 

 pollenza trinomia ( §. ag ) è rettangolo e perciò il teorema Pi- 

 tagorico ( ^. aò ) ri dà : ^e due angoli opposti di un quadrila- 

 tero sommano uno o tre retti, il quadrato del prodotto delle 

 due diagonali uguaglia la somma dei quadrati dei prodotti dei 

 lati opposti. 



Sa. CoroU. 3". Il triangolo rappresentato dall' equipollenza 

 (§.29) è isoscele quando gr(AB.ID) = gr(AD.BI); 



aUora il 4-" canone ( §. a3 ) dà la condizione 

 inc(AB.ID) -Hinc (AD.BI) = 2.inc(AI.DB), la quale 

 in differenti maniere si riduce ad una relazione di angoli 

 (§. i5). Sviluppandola sotto la forma ine AI — incAB-f- 



