a4o Sposizione del metodo delle equipollenze 



H- ine B D — ine B I -H ine I A — ine I D -i- ine D B — ine D A = 1 80° 

 si ha il teorema: Se il prodotto di due lati opposti AB, ID 

 eguaglia il prodotto degli altri due BI, DA, la somma degli 

 angoli alternati BAI, IBD, DIA, ADB compresi tra le 

 diagonali e i lati è uguale a due retti. 



33. Coroll. ^°. Il triangolo dell' equipollenza trinomia ( 5- 

 ag ) sarà equilatero se avrà due angoli = 60°, cioè se abbiano 

 luogo due delle equazioni 



ine AD — ine A B -t- ino I B — ine I D = rt 60° 

 ine AI — ine A B -+- ine DB — ine D I ^ z;r 60° 

 ine AD — ine A I -1- ine B I — ine B D = :^r 60°. 

 Ed anche qui se vogliamo ridursi a relazioni fra gli angoli , 

 bisogna porre attenzione ai loro segni ; avvertenza che non 

 sarebbe necessaria se ci limitassimo alle precedenti relazioni. 

 Supposto che il quadrilatero sia della forma ordinaria ad an- 

 goli salienti, abbiamo il teorema : Se due angoli opposti di un 

 quadrilatero ABID hanno la somma di 60°, e se questa è pure 

 la differenza di una delle quattro paja di angoli BAI, B D I ; 

 DBA, DIAj lAD, IBD; ADB, AIB, il prodotto delle dia- 

 gonali è uguale a ciascuno dei prodotti dei lati opposti. 



34. Coroll. 5°. Se alle condizioni del precedente corollario 

 si aggiunga che i tre punti B, I, D sieno in linea retta, sic- 

 ché sia gr BI -j- gr ID = gr BD, le relazioni 2,^ e 3* date 

 al 5- 33 diventeranno ine AI — ine A B = ^: 60°, 

 incAD — incAI rrizfi 60°; perciò: Se le tre rette AB, AI, AD 

 formanti tra loro angoli di 60° si taglino con una retta qua- 

 lunque BID sarà gr ( AB . ID) = gr ( AD. BI) = gr ( AI. DB).* 

 E siccome j^^D è media aritmetica tra ID e BI, così a. AI 

 è quella lunghezza, che dicesi media armonica tra le due AB, AD. 



35. Ad ultimo esempio del §. a4 daremo un teorema che 

 comprende quello del 5- 2'5. Per quattro punti di una retta, 

 e quindi anche di un piano si ha AB.AD-hBC.CD=2: 

 :£2=AC(AB-i-CD), come è facile verificare nel solito modo 

 (5. II). Conducendo la retta BLrfIbCD (Fig. 6.^) ne viene 

 pel i.° canone AB-t-CD£^AB-t-BL£i:AL; perciò: 



