Memoria del Prof. Giusto Bellavitis a43 



ABF. La condizione che il punto E si trova sulla retta AB 

 è espressa (5- 4) ^^ AE^flhz.AB, essendo z un coefficiente 

 numerico. Così pure abbiamo BCiflbjr.BF, AD£i:j.AF; 

 finalmente per esprimere la condizione che DGE sia una retta, 

 cioè che DG abbia la stessa inclinazione di DE porremo 

 /TZ.DE^CbDG. Sostituendovi le precedenti equipollenze ed 

 adoperando il i.° canone si eliminano i punti D, C, E e si ot- 

 tiene r equipollenza m [z . kY> — j.AF)£l:AG — ADzQr 

 :flb AB -(- a; . BF — j.AF. Per poter adoperare il %.° canone 

 ridurremo tutti i termini a contenere le sole rette non paral- 

 lele AB, AF, ed avremo 



m[z. kV> — y . kY)-£^[x — _y)AF-t-(i — a:)AB; e quindi 

 ( §. 19 ) sarà mz=^\ — x, my=:y — x. Finalmente 

 eliminando m otterremo la cercata relazione 

 yz — xz — y -H xj =: o, che avrebbe avuta forma più sim- 

 metrica se più opportunamente si fossero scelte le prime posi- 

 zioni. Essa può scriversi zx {y — i) = (z — i) (.r — i) y •> 

 e ci dà la nota irn?oluzione AE.BG.FDi£ì:BE.FG.AD; 

 nella quale posi il segno z£^ in luogo di :=, perchè essa sussiste 

 non solamente xùspetto alle grandezze, ma ancora rispetto alle 

 inclinazioni. 



42. Facciamo una breve digressione. Le relazioni trovate 

 tra TO, X, /, X potrebbero servire a dimostrare che insieme 

 colla precedente involuzione sussistono pure le altre tre 

 AF.DG.EBr£bDF.EG.AB, BF . CD. E A £:= CF.ED.B A, 

 FA.DE.CB£Ì:DA.CE.FB, il che è notissimo nella Geo- 

 metria superiore, e risulta dalla considerazione degli altre tre 

 triangoli ADE, BGE, FDC ognuno tagliato da una retta. — 

 Anche per sei punti di una retta se ha luogo una delle quat- 

 tro precedenti equipollenze hanno luogo necessariamente le 

 altre tre; perciò mediante il teorema generale del 5- ^4 la 

 stessa cosa sussisterà per sei punti di un piano. Ponendo mente 

 al significato delle equipollenze ( §. 16) questo teorema può 

 esporsi cosi: Se AEBGFD sia un esagono, di cui tre angoli 

 alternativi sommino insieme quattro retti, ed il prodotto di tre 



