^44 Sposizione del metodo delle equipollenze 



lati alternativi sìa uguale al prodotto degli altri tre, godranno 

 delle stesse proprietà i tre esagoni AFDCEB, BFCDEA, 

 F A D E C B, che hanno gli stessi vertici opposti del primo, ma 

 presi con ordine differente. — Anche rispetto a questi esagoni 

 esiste un punto I , pel quale hanno luogo le equipollenze 

 IA.IC£ì:IB.ID:£^IE.IF; su di che torneremo in altro 

 momento. 



43. Diamo un secondo esempio del modo di esprimere la 

 condizione dei punti in linea retta, col mezzo dei coefficienti 

 numerici. Vogliasi dimostrare il teorema del Désargues che : 

 Se i vertici di due triangoli ABC ( Fig. 9^" ) A' B' C sono in 

 linea retta col punto fisso S i punti di concorso T, U, V dei 

 loro lati corrispondenti sono essi pure in linea retta. Le date 

 condizioni sono espresse da SA'dlìza.SA, SB r^hZ'.SB, 

 SC':£^c.SC, essendo o, b, e tre coefficienti numerici in- 

 determinati. Così pure la condizione che V appartenga alla 

 retta AB è espressa da AY zCtz n. AB, oppure riducendo 

 tutto alle SA, SB, SC, da SYdihSA-h n.AB zO^ [i—ji) SA -1- Ji.SB. 

 Similmente V dovendo appartenere anche alla retta A'B', si avrà 

 SYzC^{i —?n) SA' -hjn.SB' ^^ a {i —7n) SA -i-bm.SB. 

 Paragonando le due espressioni di SV il 2.." canone dà 

 I — H = (2 ( I — ??2 ) , n = b m; trattone il valore di m sarà 



S V £:ii ^-^ S A' -(- ^-^ S B'. Precisamente nello stesso modo 



a — a — o 



troveremo 



ST£i:iJ=f SB'-t- f-^^SC, SU:£hi^=^SC'-t- ^=^SA'. 



b — e b — e e — a e — a 



Dalle quali si deduce 



(a — b)SY=^ (i-M(c-«) SXj_^ (''-')(^-O ST, ossia 



* / e— I I— e ■^ 



(a—b—ac-hbc) SV ■+■ {c—a-hab—bc)S\]-i- (b—c-i-ac—ab) S T i£l: e, 

 e ricordando che TV£^SV — ST, TUz£^SU — ST 



vedremo che {a — b — ac-i-bc) T V -4- (e — a-4-ab — bc) T U rCb o , 



cioè (§. 4) TV ha la stessa inclinazione di TU, ossia TUV 

 è una linea retta. 



