a5o Sposizione del metodo delle equipollenze 



Si noti che, permutando tra loro le lettere B C, l'area del 

 triangolo A C B si trova espressa da 



^(AC.cj AB — cj ACAB), che nel caso della figura è 



un numero negativo ed uguale a — areaABG: questo anziché 

 difetto del metodo ne è grande vantaggio per ischivare gli er- 

 rori, a cui si può andar incontro nella somma delle aree quando 

 non si considerino attentamente le differenti disposizioni che 

 possono prendere le parti di una figura. — Facilmente si di- 

 mostra che sono identiche anche nel segno le aree ABC, 

 BCA, CAB. 



58. Facciamo due applicazioni di questo ultimo canone 

 del metodo delle equipollenze. Se sopra un lato di un trian- 

 golo ABC (Fig. i3^) sia descritto un parallelogrammo AB FÉ, 

 poscia sieno pur descritti col lato C G £i: A E i due paralle- 

 logrammi ACCE, BFGC, sarà 



ABFE£:ìzi^(AB.cjAE — AE.cjAB), 

 ACGEi£:=^(AC.cjAE — AE.cjAC), 



BFGC£^^(AE.cj BG — BG.cj AE), avendo posto 



A E in luogo di BF£:bGG:£i:AE. Rammentando che 



BGiQzAC — AB, cj BCrOiCj AG — cj AB, quelle tre 

 equipollenze danno ABFE = ACGE-i-BFGG. — Ai 

 parallelogrammi AGGE, BFGC possono sostituirsi gli altri 

 due compresi tra le stesse parallele ACLM, BNPC. (Infatti 

 essendo AEr£:hAM-t-MEd2=AM-i-re.AC si ha 

 AG.cjAE — AE.cjAG£iiAG.cjAM — AM.cjAG). Per- 

 ciò la somma delle aree dei parallelogrammi ACLM, BNPC 

 eguaglia quella di ABFE, che ha i due lati AE, BF equi- 

 pollenti a GG. Questo è un teorema del Clairaut, il quale 

 comprende come caso particolare la dimostrazione che Euclide 

 dà nella sua 47-^ proposizione del teorema Pitagorico ; basta a 

 tal uopo supporre che il triangolo A GB sia rettangolo in C, 

 e che ACLM, BNPC sieno i due quadrati descritti sui cateti. 



