aóo Sposizione del metodo delle equipollenze 



del desiderato quadrilatero XAYBZGW. — Nella nostra fi- 

 gura l'arbitraria direzione della OH fu presa nella OC, così 

 i triangoli OHC, OH, L^, A, K, si ridussero a tre rette ta- 

 gliate proporzionalmente. 



79. La nostra soluzione ha il vantaggio d' indicare i cal- 

 coli coi quali si può determinare numericamente la posizione 

 del vertice X. — Le due soluzioni si riducono ad una sola 

 quando OU è doppia del raggio del circolo, cioè quando la 

 direzione della OT è tale che la projezione su di essa della 

 O Hj eguaglia la O A^, . In questo caso il lato Z W è massimo 

 tra tutti quelU dei quadrilateri inscrivibili nel circolo , che 

 hanno tre lati passanti pei punti A, B, C. 



80. Nel 5- 78 ci occorse esprimere la condizione che tre 

 punti sieno in linea retta con una equipollenza, che non con- 

 tenesse i coefficienti arbitrarli adoperati allo stesso scopo nel 

 5. 44' ^ "oi giungemmo alla bramata formula mediante 1' eli- 

 minazione e per via affatto diretta. Non è ultimo dei vantaggi 

 del metodo delle equipollenze che non si debba ricorrere a 

 formule già precedentemente dimostrate, e che tutto possa fa- 

 cilmente desumersi dai principi! fondamentali. Nulladimeno non 

 sarà inutile fissare un momento l'attenzione sulla funzione al- 

 ternata o determinante ^ che stabilisce la condizione di cui si 

 tratta. Vedemmo al 5- 44 che se j[7.0 A -H «/.OB -<- r.OCrOio, 

 pex'chè i punti A, B, C sieno in linea retta, i tre coefficienti 

 numerici deggiono soddisfare alla p -\- q -^ r zC^o. Aggiun- 

 gendo a queste equipollenze la conjugata della prima 



j^.c] OA -4- ec. £^ o, e notando che esse devono sussistere 



insieme, la teoria dell' eliminazione e' insegna che : La condi- 

 zione che A, B, G sieno in linea retta è espressa dalla funzione 

 alternata OB.cj OC — OC. cj OB-t-OG.cj OA — OA.cj OC -t- 

 -f-OA.cj OB — OB.cj OAr^o. 



81. Cerchiamo ora la condizione per la quale le perpendi- 

 colari agli estremi delle rette O A', B', O C s' incontrino in 

 uno stesso punto M. Abbiamo ( §• 48 ) O M rCl: O A' -^ A' M lii: 

 ^{i-^iy)OA'z£h{i-^my)OB'zC^{i-i-ny)OC'; da 



