204 Sposizione del metodo delle equipollenze 



(AX)' — (AB-fAD — cj AD) AX-+-AB.AD£:=o, la cui 

 formula di risoluzione si semplificherà ponendo AB=£ha.AG, 

 AD — cjADiflha.CE, cioè (5- 56) tirando la CE perpen- 

 dicolare nel mezzo della AB, e la DE parallela alla AB, e 

 finalmente costruendo AF=£1:AB.AD:AE, cioè il trian- 

 golo ADF simile-dritto all'isoscele AEB. Dopo di che con 

 facile calcolo (55- 'o, i8) si troverà EX £ì; [/e A.EF? il che 

 insegna che la EX dovrà essere media proporzionale ed ugual- 

 mente inclinata tra le AE , E F. 



86. Si ottiene una soluzione ancora più semplice colle se- 

 guenti facili trasformazioni, nelle quali P è il piede della per- 

 pendicolare abbassata dal punto D sulla retta AB d'inclinazione 

 nulla, sicché CEr£lrPD, a. PD r£^ AD — cj AD ( S- 56 ) . 

 L' equipollenza del a." grado in A X dà 

 (EX)^=Q:(AC^-PD)^ — AB(AP-)-PD)£^ 



£:^ (AC— AP)^ — {AP)^-f- (PD)^£^ (CP)^ — (AP-hPD) (AP— PD)iil: 

 :£b(CP)'' — AD.cjAD, ed osservando che ambedue gli ul- 

 timi termini hanno 1' inclinazione nulla, vedremo che questa 

 equipollenza è identica all'equazione gr'EX = gr^CP — gr^AD, 

 quindi, pel teorema Pitagorico, sulla EC pi'enderemo la EG 

 eguale alla AD, e taglieremo la ED in X coli' arco di centro 

 G e di raggio eguale a CP. 



87. Quando il problema è impossibile la precedente co- 

 struzione lo rende palese ; non così quella del 5- 85 ; poiché 

 anche se F cade tra E e B, il punto X sarà reale e si tro- 

 verà sulla E C . — Nel calcolo delle equipollenze può dunque 

 avvenire ciò che talvolta succede anche nell' Algebra, che com- 

 binando un'equipollenza colla sua conjugata si ottenga qualche 

 soluzione che non soddisfaccia alla primitiva; il che nel nostro 

 caso torna evidente per non essere più soddisfatta la condizione 

 DXrQzcj DX. 



88. Problema. Dati tre cìrcoli, che abbiano il punto co- 

 mune I ( Fig. aS''), tirare per questo punto la retta IXZY in 

 modo che le parti X Z , X Y comprese tra ì circoli abbiano il 

 dato rapporto m. Indicata con e" 1' inclinazione della cercata 



