2,'j'o Sposizione del metodo delle equipollenze 



Scelto ad arbitrio un punto O ( che potrà essere uno dei 



dati A, B, ) sarà facile costruii-e la G in guisa che 



(m-t-TO-H )OGd:^m.OA-hm'.OB-+- , e pel 



1° canone si vedrà che 1' unico punto G così determinato sod- 

 disfa alla condizione stabilita nel teorema; noi Io diremo il 



baricentro dei punti A, B, rispettivamente accompagnati 



dai coefficienti ( o masse ) m, ìn\ Quando tutti i coeffi- 

 cienti sono eguali G dicesi il baricentro dei punti A, B 



ICO. Se dalla precedente equipollenza moltiplicata per 

 cj OP sottriamo la sua conjugata moltiplicata per OP otteniamo 



(^m-hm'-^ )(OG.cjOP — cjOG.OP)=£^ 



^/7z(OA.cjOP — cjOA.OP)-Hm'{OB.cjOP — cjOB.OP) -(-.... 



Quindi pel la" canone sarà (/Tz-f-m'-H )GOP = 



= 772 . AOP -t- to'. BOP -H Facendo che O, P coinci- 



dano successivamente con due dei tre punti A, B, C si hanno 

 le equazioni [m -^ m ■+- ni ) G B C =: r« . A B G , 



(;re^_;;^'^-^")GCA = ??2'.BCA, (TO-Hm'-(-/?2")GAB = m".CAB, 

 che dimostrano la verità della seconda parte del teorema. Si 

 ponga attenzione al segno negativo che prende (§. 57) l'area 

 d'un triangolo quando i vertici presi nell'ordine con cui sono 

 nominati si volgono in verso opposto. 



loi. Problema. Quali coefficienti debbono attribuirsi ai ver- 

 tici di un triangolo ABC, perchè il loro baricentro sia il cen- 

 tro R del circolo circoscritto. Potrebbero considerarsi come cose 

 notissime che l'angolo ARB ( Fig. a8* ) è doppio di 

 ang.ACB = c, e che l'area del triangolo RAB è propor- 

 zionale al seno di ARB; nuUadimeno dimostriamolo col me- 

 todo delle equipollenze. Per esprimere la condizione che R sia 



equidistante dai tre vertici porremo RAr^^re , 



RBzilirrff^, RCrCbr/. Pel 12° canone e pel ^. ^i si ha 



RAB = ^r^(£"-^ — £-"*^) = — sen(/? — a); e pei 



canoni 9" e 1° il doppio dell'inclinazione del lato GB meno 

 il doppio dell'inclinazione di CA, ossia a e, è dato da 



