Memoria del Prof. Giusto Bellavitis 278 



— 0R£1:0H. Ogni angolo retto A" A, A' è inscritto nella 

 mezza circonferenza col centro O, perciò quel circolo passa 

 anche per A,, quindi: Per ogni triangolo ABC vi è un circolo 

 ( con raggio metà del circoscritto ) // quale taglia i lati nei loro 

 punti di mezzo, nonché nei piedi delle tre altezze del triangolo, 

 e dimezza pure le predette perpendicolari AH, B H , C H ter- 

 minate al loro punto d' intersezione ; il suo centro è alla metà 

 della retta che dal centro del circolo circoscritto va al punto 

 d' intersezione H delle tre altezze. 



108. Problema. Determinare il centro P del cìrcolo inscritto 

 nel triangolo ABC ( Fig. aq"). I triangoli PAB, PBG, PCA 

 avendo uguali altezze sono proporzionali alle basi AB, BC, GA, 

 le quali sono proporzionali ai seni degli angoli opposti; perciò 

 (5. 99) (5) sen^. PA -+- seuB.PB -(- sene. PC :f:ì=o. 



Così possiamo esprimere le (i), (a), (5) dicendo che: // centro 

 del circolo circoscritto, — il punto comune delle tre altezze, — 

 ed il centro del circolo inscritto sono i baricentri dei vertici del 

 triangolo quando ad essi si attribuiscono dei coefficienti propor- 

 zionali ai prodotti del seno pel coseno, — alle tangenti, — od 

 ai seni degli angoli rispettivi. Divisi per metà gli archi B C , 

 CA, AB del circolo circoscritto nei punti A°°, B°% C°° ; il 

 centro P del circolo inscritto è l'intersezione delle i-ette AA"", 

 BB°°, CC°°, le quali sono perpendicolari ai lati del triangolo 

 j^oojjooQoo. dunque P è l'ispetto a questo triangolo quello che 

 è H rispetto ad ABC, e perciò la (3) ci dà 

 (6) RPd:^RA''° -)- RB"" H- RC''". Se non si avesse voluto 



profittare di queste facili considerazioni geometriche le formule 

 del 5. loi avrebbero condotto direttamente all'equipollenza (6), 

 alla quale può darsi la forma A"" P z£^ C"' B'" =C= B"' G''" , 



essendo C°', B°', A°' i punti diametralmente opposti ai C"°, 

 B"", k°°. Anche quelli, non meno dei C°°, B^% A"", dimezzano 

 gli archi AB, CA, BC, e si hanno altri tre punti P, , P^, P3 

 equidistanti dai lati del triangolo ABC, i quali sono centri 

 dei circoli ex- inscritti., essi sono dati dalle equipollenze 

 RP, ^^RA^^'-t-RB''- -j-RC' d2=RA" — RB"" — RC°°, 



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