2,76 Sposizione del metodo delle equipollenze 



lunghezza e, sarà c.FG°:£:!=-(FA-t-FB). Dicasi la 



stessa cosa per gli altri due lati BC = a, GA = ^, ed ac- 

 ciocché F sia il baricentro dell' insieme di quei tre lati dovrà 

 essere (§.99) {9) {b-i-c)FA-i-{c-i-a)FB-+-{a-^b)FC=0^o. 

 A rendere pienamente diretta e facile la maniera d' adoperare 

 questa equipollenza, giova riferire ( mediante il i" canone ) 

 tutti i punti ad un punto arbitrario O, allora la (9) diventa 

 a(a-t-i-Hc)OFi£i:(Z'-t-c)OA-+-(c-+-o)OB-+-(«-t-Z*)OC. 

 La (5) del 5> 108, a motivo della proporzionalità dei lati a, b, e 

 ai seni degli angoli opposti, diventa 



{a-\-b-+-c)0?z£^a.OA-\-b.OB-i-c.OG; perciò 



a.OFH-OP£:zOA-»-OB-4-OG£:b3.0G essendo G il 



baricentro dei tre punti A, B, G. Mutando O in F si ha 

 (io) FP:£Ib3.FG, che combinata colla (3) del 5- '^^4 



RH£^3.RG dà eziandio (11) HPrCha.FR-, perciò: 



In ogni triangolo il baricentro G è alla terza parte della retta, 

 che dal baricentro F del perimetro va al centro P del circolo 

 inscritto ; e la retta fra V intersezione H delle tre altezze ed il 

 centro del circolo inscritto è equipollente al doppio di quella fra 

 il baricentro del perimetro ed il centro R del circolo circoscritto. 



III. Potrebbe anche dimostrarsi che F è il punto di mezzo 

 della retta da H al centro del circolo che passa pei centri 

 P, , Pa, P3 dei circoli ex -inscritti al triangolo ABG. Le rela- 

 zioni (3), (4), (io) tra i punti R, H, G, O, P, F, permettono 

 di determinarli quando se ne conoscano tre soli, purché ti'a 

 loro indipendenti. 



Ila. Analoghe relazioni hanno luogo rispetto ai punti F, , 

 Fj, F3 baricentri dei tre lati del triangolo, quando alle por- 

 zioncelle inlinitesime di uno dei lati si attribuisce coefficiente 

 negativo. Gome al §. 106 si trova che la figura FF.F^Fs è 

 simile e similmente posta della PP, P2P3, i lati della prima sono 

 le metà di quelli della seconda. 



II 3. Problema. Esprimere il prodotto delle aree di due po- 

 lìgoni mediante le distanze tra i vertici dell'uno e quelli delV altro. 



