2,8o Sposizione del metodo delle equipollenze 



119. Teorema. Il prodotto delle aree di un poligono ABCD 



e di un multilatero MN, PQ, è colle convenzioni del 



5. Ii3 espresso simbolicamente da 



-^[AB-+-BC-(-CD^-DA][MNh-PQh- ]. Lo si 



dimostra prendendo per area del multilatero la somma dei 

 triangoli RMN, RPQ,...., che hanno per vertice comune il 

 pseudocentro R del poligono ABCD. 



lao. Date alquante rette MN, PQ,...., se si voglia de- 

 terminare una retta XY in guisa che il multilatero MN, 

 PQ,.... XY abbia area nulla, si dovrà da prima scegliere la 

 grandezza e direzione della RS in guisa che sia 



MN-+-PQ-4- -i-RSr£^o, sicché XYi£izRS. Poscia 



r altra condizione OMNh-OPQ-»- -t-OXY = o sarà 



soddisfatta se si determini il punto X in guisa che sia 

 OM.C3MN-+-OP.CJPQ-+- -4-0X.cjRSr£ì:o. Deter- 

 minato in questo modo il punto X, e considerato che un mul- 

 tilatero d' area nulla può rappresentare un sistema di forze in 



equilibrio si vede che: Se le forze MN, PQ, girano di 



uno stesso angolo intorno ai loro punti d' applicazione M, N, 



la risultante Y X gira essa pure intorno ad un punto X . 



lai. Vedemmo al $. 29 che AB.CD-hAD.BC^AC.BD, 



• 11 , . . AB. CD AC.BD _^ x J • <-• 



il che può scriversi CB ad bc doppii rapporti 



che formano i due termini del primo membro di questa equi- 

 pollenza sono detti dal Chasles rapporti anarmonici, purché 

 peraltro i quattro punti A, B, C, D sieno in linea retta; ma 

 pel teorema generalissimo (§. a4) relativo al metodo delle equi- 

 pollenze ogni proprietà dei punti in linea retta si estende ai 

 punti di un piano. Presentiamo qualche esempio di questa teoria, 

 laa. Prima dimostrerò una formula molto facile da rite- 

 nersi a memoria, che comprende come casi particolari moltis- 

 sime delle formule date dal Mòbins, dal Chasles, ec. Si tratta 



di esprimere un doppio - rapporto „ col mezzo dei dop- 



.• AB. CD AB. CE AB.CF AB.CG „• „„,• • „„„+<.„^ 



pii- rapporti ^3-^, ^^-^ , ^^-^, ^3-^, nei quah 1 quattro 



