288 Sposizione del metodo delle equipollenze 



FM=Q:(MT)^:40A, la qual equipollenza significa che la 



velocità del punto grave è in ragion sudduplicata della sua 

 distanza dal foco. 



1 4 1. La retta (5) NM =£^ f .OB -t- (OB)^ : aO A fa 

 colla tangente MT =£Ib a ? . O A -i- OB un angolo eguale a 



quello che la OB forma colla OA {$. i6). Essendo ?Md[ht. OB 

 si ha (6) P N =^ — ( O B )^ : a O A £i: a . O F ; cioè tirata 



dal piede P dell' ordinata una retta equipollente alla costante 

 a.OF si ha un punto della predetta retta MN. Se l'angolo 

 AOB è retto, questa è la nota proprietà della sunnormale PN. 



142.. Mutando l'origine O possiamo giungere al caso dell'an- 

 golo AOB retto, il che rende i calcoli più semplici. Infatti se 

 C è un punto della parabola, sicché OG:£^c^.OA-i-c.OB 

 avremo CM=Q:{^^ — c")OA-»-(? — c)OB:£^ 



d:^{t — cyOA.-\-{t — c)(ac.OA-i-OB), equipollenza 



della stessa forma della OM^Iizi^.OA-f-^.OB (come riesce 

 evidente mutando t — e in ?, e ac.OA-4-OB in GB,); 

 e sarà sempre possibile dare a e tal valore che a e . O A -H O B 

 sia perpendicolare ad OA. — Mutando t in at si possono inol- 

 tre render uguali le due rette che sono moltiplicate per t'' e 

 per t; sicché prendendole per unità di lunghezza si può dare 

 all' equipollenza della parabola la forma più semplice 

 (7) C M =£1: i' -+- ? y^. In questo caso il foco é dato da 



CF=2=i:4, la tangente in M dà (8) MT dO^ 2, t -\- •/" , 



e la normale (9) MNr£^i — 1>^ (Fig. Si''). 



143. Un punto qualunque R della normale è dato da 

 CRdl^CM-h 2,p.Ml^ :£^t^ -^p-¥- {t — 2.pt)y. Perchè 



questo R sia il punto d'intersezione della normale MN con 

 quella ad essa infinitamente vicina, bisogna che il punto R 

 non cangi quando a f si dia un accrescimento infinitesimo «, 

 e p soffra un corrispondente cangiamento tr. Secondo i principii 

 del calcolo differenziale ciò si esprime con dGR£i:o, ossia 

 (a^-ny — a/?-/") o -1- ( I — 2,ty)vf :^o; separando la 



parte moltiplicata per ramuno, questa equipollenza dà le due 

 equazioni ai^o-Ht7 = o, (i — ay? ) o — a i cr = 0, se ne 



