Memoria del Prof. Giusto Bellavitis 2.S() 



deduce a,// = /^t^-\- i. Perciò (io) C R :Dz ^ -t- 3 t" — ^t^y 

 è I' c(]UÌpollenza dell' evoluta della parabola. 



i44- 11 i"3ggio di curvatura è dunque espresso in grandezza 

 e direzione da MRi£!=iii"-l-i — (i-H4^^)y=^ 



:£:= ( I -4-4r) (i — ty) :£^ ( i -1-4^) MN. La MN, essendo 

 composta - equipollente di due rette perpendicolari, ha la lun- 

 ghezza ^i/i -i-4^^i perciò il raggio di curvatura MR è pro- 

 porzionale al cubo della normale MN terminata all'asse della 

 parabola. Se MLr£iriMR, cioè se L è il punto di mezzo 

 della MR, essendo CF=Q:i., sarà FL i£i=CM-t-ML — CF £2= 

 d^ 3 ^^ -4- ( ^ — i2 i^ ) ty^, cioè perpendicolare alla 

 FMd^zt'' — j-t-^T^j quindi il raggio di curvatura è dop- 

 pio della porzione ML di normale che è ipotenusa del trian- 

 golo M F L rettangolo nel loco F. Se la M K £i; L M si 

 prende sulla prolungazione del raggio RM si ha 



(il) C K r£r!= — i ~*~ i 1-^^^)>^5 e perciò il punto K ap- 

 partiene alla direttrice DK della parabola. 



145. L' ellisse è espressa dall' equipollenza 

 (i) OM:0^x.OA-+-y.OB (Fig. 3a*), purché le quantità 

 reali x, y soddisfacciano all'equazione (a) ar"-Hj''= i, 



il che si può fare ponendo x = cos^, j = sen?. I due va- 

 lori ( positivo e negativo ma equivalenti ) che riceve ciascuna 

 variabile per ogni valore dell' altra mostrano che O A ed O B 

 sono due diametri conjugati dell'ellisse. La direzione della tan- 

 gente nel punto M è data da r/x . O A -+- </y . OB, le dx^ cly 

 essendo tra loro legate dall'equazione xdx -\- ydy z= g^ che 

 è la derivata della a:'-Hj'=:f. Perciò determineremo la di- 

 rezione della tangente mediante la (3) MT^Ih — j.OA-t- x.OB, 

 che si avrebbe tosto derivando la OM ::Q= cos/^.OA-f-sen^.OB 

 rispetto alla /. Questa MT incontra la retta OA nel punto S, 

 che si determina unendo ad OM un multiplo di MT tale che 

 sparisca il termine contenente OBj quindi 



(4) OS^OM — J-MTr£h(x-»-^)OA rf^^OA; perciò 



se 0P:f2=a;.0A, (sicché PM sia parallela ad OB ) si ha 

 OP.OS£:ìr(OA)\ 



Tomo XXV. P.'= //.- LI 



