ago Sposizione del metodo delle equipollenze 



i46. La MN£:tMT.OB:OA£^— j.OB-i-x(OB)»:OA 

 forma (§. i6) colla tangente l'angolo costante AOB; ora si ha 

 (5) ON£ì:OM-l-MNr£^:r.OA-i-a;(OB)^:OA£^x.A.E, 

 essendo E r£ì; (OB )^ : O A, ed A,0;£1:0A ( cioè es- 

 sendo formato il triangolo BOE simile -dritto ad AOB). Ne 

 viene inoltre PN:£ì:ON — OPzCbx.OE, ed il triangolo 

 OPN è omotetico col triangolo costante A,OE. — Quando 

 OA, OB sono gli assi, la M N diventa la normale, ed essa 

 taglia in rapporto costante 1' ascissa O P. 



i47. Se c^-4-^^=i, e (6) OC :^ e . O A ^ rf. OB, 

 ODdlh — d.O A -\- e .OB, questi OC, CD ognuno dei quali 

 è pai'allelo (§. i45) alla tangente condotta nell'estremo dell'al- 

 tro, sono due semidiametri conjugati dell' ellisse. Infatti se ne 

 deduce O A £^ e . OC — J. OD, OB .£^ d.OC -h e . OD, 

 e sostituendo OM:0={cx-^dy)OG-^-(cy — dx) OD, 



equipollenza della stessa forma della OM=Cbcos^.OA-Hsen/^.OB; 

 giacché è facile verificare che {e x-i-dy-y -i- [cy — dxy =■ i. 

 La prima espressione del ia° canone (5- 57) dimostra immediata- 

 mente che le aree dei triangoli OCD, OAB sono tra loro uguali. 



148. Per due qualisivogliano semidiametri conjugati ha luogo 

 (5. 147) l'equipollenza {OCf -^ {ODf ^ {O kf ^ [OB]'; 

 perciò ponendo (7) ( A )= -4- ( O B )^ £1: ( F )" determi- 

 neremo due punti indipendenti dalla scelta dei diametri : que- 

 sti osservabili punti F, F, sono i fochi dell' ellisse. L' equipol- 

 lenza (OA)^ii:t (OF — OB) (OFh-OB), la quale me- 

 diante la OF^i: — OF, si trasforma pel primo canone nella 

 (0A)^=^ — BF.BF,, dimostra che per qualunque punto B 

 dell' ellisse i due raggi vettori BF, BFi formano angoli eguali 

 colla tangente della curva, ed il loro prodotto eguaglia il qua- 

 drato del semidiametro OA parallelo a tal tangente. 



i4g- Il problema dati due semidiametri conjugati dell' el- 

 lisse trovarne i fochi è direttamente risolto dalla nostra equi- 

 pollenza (7) . La si può costruire in piìi maniere. Determinata 

 la OE (S. 146) si ha (0F)^zi2.0A (O A-+-OE) =£1: A, O . A, E; 

 perciò r eccentricità F sarà media proporzionale tra O A ed 



