a94 Sposizione del metodo delle equipollenze 



(5) OS rOz t—Y^ -f- atìy^e"(i-(-£'):£^aay'£"-4-^-f-(aa£"— f ) y^e' i 

 il che mostra che anche la curva S è generata dalla composi- 

 zione del moto progressivo espresso dal termine t col moto 



rotatorio di l'aggio costante a a e" — x . Perciò la curva S è 



una cicloide, che è ordinaria ogniqualvolta sia gr (aae"— i)=i, 



cioè (5- Sa ) (a «fi" — i ) (aa£~" — i ) i£^ i , ossia ( §. ga ) 

 a = cosa; nel qual caso la curva S è l'evoluta imperfetta 

 della M. 



i5g. Come altra applicazione del nostro metodo e della 

 maniera molto semplice di esprimere una cicloide ricerchiamo 

 la traiettoria ortogonale di tutte le posizioni che prende la ci- 

 cloide muovendosi parallelamente alla sua base. Queste infinite 

 cicloidi sono espresse da (6) O M :flb t -4- it — >^£', essendo 

 r il parametro di posizione che distingue 1' una dall' altra le 

 cicloidi eguali. La (6) esprimerà anche la cercata trajettoria 

 quando t sia tale funzione di r, che individui in ciascuna ci- 

 cloide il punto, in cui è tagliata dalla trajettoria. La tangente 

 della trajettoria sarà perciò espressa dalla derivata della (6) 

 presa rispetto a f, questa derivazione noi la segneremo colla 

 caratteristica d, e la tangente dr-f-i-t-f* dovrà poi (per 

 la condizione della trajettoria ortogonale ) essere perpendico- 

 lare alla tangente !-»-£'(§. i55 ) di ciascuna cicloide. Quindi 

 d T -t- I -H £* dev'essere parallela a y^-(-"y*^£', cioè 

 (dr -H r -1- 1') (—y^— /'£-») :£ì: — ( I -»-£-^) ydr — a^ — ■/'(£'h-£-') 

 dev' essere equipollente alla propria coniugata, il che dà 

 dr = — a, onde t = c — 'xt. Perciò tutte le cercate tra- 

 iettorie ortogonali sono espresse da OM=£bc — t — y^fiS 

 cioè sono altre cicloidi uguali alle proposte ed aventi le basi 

 sulla AQP. 



i6o. La definizione geometrica della lunghezza dell' arco 

 curvilineo AM si è il limite della somma delle corde infinite- 

 sime (cioè dirainuentesi oltre ogni quantità) in esso inscritte; 

 perciò la derivata di quella lunghezza sarà il limite del rap- 

 porto della corda MM, al corrispondente accrescimento della t^ 



