agS Sposizione del metodo delle equipollenze 



169. Problema. Determinare V ordine del contatto di due 

 curve, e trovare il circolo osculatore di una curva data. Le due 

 curve sieno espresse da OM£^F(?), ON:£h/(ii), e la u 

 sia funzione indeterminata della ^, la quale riceva uno spe- 

 ciale valore che renda OM^IbON, cioè M sia punto comune 

 alle due curve. Attribuiamo alla t l'accrescimento infinitesimo o, 

 e determiniamo la u funzione della t in guisa che 



M' N' :£ìz O N' — O M' £^ o" "^ ' . O P sia la più piccola possibile 

 (essendo OP una retta finita), il numero n sarà l'ordine del 

 contatto. Ordinariamente n è un numero intero, perchè all'ac- 

 crescimento o corrispondono 



OM' r£l= OM -Hw.dM-H-.d^M-Hec, ON'=Q=ON^ec. 



a 



M'N'ii:=o{dN — dM)-4-^ (d^N — d^M)-t- ec. Cosi il 



contatto è almeno del a" ordine quando si possano soddisfare 

 le tre equipollenze OMiflhON, dMr£}=dN, d^M:!2=d"N. 



170. Ci servano di esempio la parabola O M £1: Z^ -t- ^ y^ 

 ed il circolo ON£ì:i-t-iy-i-(i — y)(i — £")^ «^h^ 

 hanno un punto comune corrispondente a ^ = i, m = o; po- 

 scia la dM:£i=dN dà ai-i-y:£h — (y-Hi)£"d«, che 

 rimane soddisfatta da àu=. — 1. Anche la d^M=!2=d^N, 

 ossia a £]= — (y -H I ) (d"M-+-y dw^) £" resta soddisfatta da 

 <i^i^ = — I. Noi potrebbe poi essere la d*Mr2=d'N, qua- 

 lunque fosse il valor reale di A^u. Dunque il contatto tra la 

 parabola ed il circolo è del a° ordine. 



171. Se si avessero a paragonare due movimenti, anziché 

 due curve, sarebbe data u in funzione di t, e quindi 1' acco- 

 stamento dei due movimenti potrebbe essere minore di quello 

 delle curve. Così il movimento parabolico dei gravi cadenti 

 espresso da O M rilh i" -4- ty^^ ed il movimento circolare uni- 

 forme espresso da ONd:b| — hV^-^iV — \) e^~* danno 

 per f = 1 -H a , M' N' rO: — ( i -i- y ) ^ ; perciò 1' accosta- 

 mento dei due movimenti è soltanto del 1° ordine. 



