Memoria del Prof. Giusto Bellavitis 299 



I7a. Coi principii ora stabiliti ci sarà facife determinare il 

 circolo osculatore di una data curva in un suo punto M: se 

 R ne è il centro, il circolo è espresso dall'equipollenza 

 ONiCbOR-f-£".RMj nel prendei'e le derivate bisogna con- 

 siderare OR, RM come costanti, perlochè è dN=^y^£»dzi.RM, 

 d»NrQ;(yd^M — dii")e".RM, nelle quali dobbiamo fare 7^ = 0, 

 questo essendo il valore che fa coincidere N con M . Perchè 

 il contatto sia del a" ordine dovrà essere dM dO^y^ dii.RM.j 

 d"M^£:!= (yd^M — dM").RM. Dividendole 1' una per l'altra, 



la (4) del S- 164 ci dà l -t- Ay dlz'^ -^ y du; sicché 



A = d«, e la dMr£i:y^dzi.RM è identica colla (a) del 

 S. i63. 



173. L'inviluppo di tutte le rette MS, che fanno colle 

 tangenti MT rCh dM l'angolo costante a si trova collo stesso 



processo del 5- it»3 ponendo MS:^/>£".dM, poscia deter- 

 minando p in guisa che dS sia parallela alla stessa MS. Così 



a 

 E 



si trova (9) MS £Ib: sena — MR j nota relazione dei 



punti S dell' evoluta imperfetta ai punti R dell' evoluta pro- 

 priamente detta. 



1 74. Problema. Determinare la curva V parallela alla data M, 

 cioè che ha con essa comuni tutte le normali MP. Il punto 

 P appartendo alla normale della data curva nel punto M sarà 

 OP d2:zOM -i- p'/'.dM; inoltre la tangente in P, che è de- 

 terminata in direzione da dP £:^ dM -»-/;■/'. d^M -i- ■j/'d/'.dM, 

 dev'essere parallela alla tangente dM. Moltiplicando per cjdM 

 avremo p-/". cj dM . d^M H- y dy; . dM . cj dM parallela a 

 dM.cjdM, cioè d'inclinazione nulla, e quindi equipollente 

 alla propria conjugata — /^y^. dM . cj d'M — y^^d/^.dM . cj dM. 



Ne viene — = -nr -+• cj ,.. , e retrodenvando sarà 



dM J dM 



y? = c: j/dM . cj d M. Quindi la distanza delle due curve è 

 (io) M P =Q= c>^^/dM : cj dM, vale a dire di grandezza co- 

 stante, e le curve sono veramente parallele. Colla posizione (4) 



del 5- 164 si l»a p =^ e e~ *. 



