3oo Sposizione del metodo delle equipollenze 



175. Questi calcoli sarebbero riusciti più spediti ponendo 



(5- 168) (7) dMrCbf'^dj. Supponiamo pili generalmente che 

 la MP formi colla tangente dM un angolo costante a, sarà 

 OPrCbOM-4-;7£"'*"^di, e se la tangente 

 dP ^e'^ds -+- /7£»-^^(d% -H y^ dsd(p) -)-.£"-*-^ dp ds debba 

 esser parallela alla dM sarà jje"' {d^s ■+- ■ydsd(p) ■+- £"'dpds = 

 = ps~'^{d''s — y^ ds d(p) -i- e~"' dp ds; la retroderivata di 



questa equazione dà pds:=ca~'^, essendo e la costante ar- 

 bitraria, ed a^zze*^"'"; perciò (n) MP r£b e a"''* f""*"*^. 

 Dunque tutte le rette M P, che sono tagliate sotto un uguale 

 e costante angolo dalle due curve M, P, sono rispettivamente 

 equipollenti ai raggi vettori di una spirale logaritmica (5- 166) 

 che li taglia sotto quel medesimo angolo. 



176. Problema. Determinare le sviluppanti di una data 

 curva M, cioè le trajettorie ortogonali delle sue tangenti M T. 

 Diciamo T il punto della cercata trajettoria, e poniamo 

 0T=C!=0M-f-(7.dM; la tangente della curva T è data da 

 dT :£Ih ( I -I- d^) dM -1- ^d'M, e dev'essere perpendicolare 

 a dM; quindi colla solita supposizione (4) d'^M.d.M ^C^ l-^ Ày^ 

 sarà i -\- dq -\- ql^ o^ e quindi 



(la) MT:£^ — e~^''^'./e^''^'d^.dM. 



177. I calcoli sono più brevi se l'equipollenza della curva 



M sia data sotto la forma (7), allora, posto MT:£t^£'^, sarà 



dT £^ e'^ (d.f -I- d^) -H ^y*^£ d(^ perpendicolare a r, cioè 



dovrà essere ds -^ dq ■= c^ retroderivando si ha q = c — s, 



e quindi (i3) MT=0=(c — s) e^ . — Ci sarà facile dimo- 

 strare che la sviluppante T ha per evoluta la curva M. Infatti 



abbiamo dT:£b(c — s) -^ £^ d(p^ e (supposto per brevità 



d(p costante) d^T£^(^ — c)^^ d(p^ — -/^ t^ dcp ds^ e per- 

 ciò la (4) ( S- '^4) ^^' rispetto alla curva T, A = d<p^ ed il 

 raggio di curvatura in T è ^ y dT £ì: { j — e) e''* rf::^ T M. 



