Memoria del Prof. Giusto Bellavitis 3ot 



178. Applichiamo le precedenti formule allo sviluppo del 



circolo di raggio uno OR=il!=e'^ ( F'g- 35*); la derivata del 

 suo arco è d.j = d(p, ossia all' equipollenza si può dare la 



forma ORdlhy^ f e*' d<p, perciò la sviluppante del circolo è 



espressa da OM=C!=(i — (py^) e^. Per trovare la seconda 

 sviluppante BT diamo all'equipollenza della prima sviluppante 



AM la forma O M ^^ f e'' (p d(p ; cosi ora avremo di = (^d(^, 



e M T i£ìr ( e — i f^'' ) f'*, quindi 



OT£ì:(i -i- e — (py — ^f) e'^ ^y / e''^ {e — ^f)à(p. Il 

 raggio di curvatura della BT in T è e — |^', quello della 

 sua evoluta M è i^, e quello della R è = 1 . 



179. Problema. Determinare la direzione della retta M W, 

 che partendo dal punto M di una curva taglia per metà la 

 corda infinitamente vicina e parallela alla tangente in M, e 

 trovare la parabola che ha colla curva un contatto del 3° or- 

 dine. (Questo è l'ultimo problema della Geometrie de Position, 

 io lo risolsi nel §. a5 del mio Saggio ( i835 ) prima del Tran- 

 son ( 1841 ) e del Dupin ( 1848) ). Se N, L sono i due punti 

 della curva corrispondente a t -\- o ed a t — ìp si ha 



0Nii:^0M-4-odM-+-^ d^M -+■ ec, OLif^OM — t/dM-i- ec, 



Lììdilz (a-i-ìp) dM-t-i {o^ — ìp^) d^M-H^ [o^-hìp^) d'M ■+■ ec. ; 

 e perchè questa corda sia parallela alla tangente d M , biso- 

 gnerà che lo sia pure la 3{o — t^) d^M -^- (o" — otp -*- ip"") à^M 

 (che moltiplicata perla quantità reale ^{o-^-ip) e composta 

 colla { o -¥- ìp) dM dà la LN). Dovendo essere o, ip infini- 

 tesime, bisognerà che o — xp sia infinitesima del 2," ordine 

 come lo è «" — o t^ H- i^^ = o*. Posto o — ip = q o^ do- 

 vremo determinare la quantità reale q in modo che 

 ((4) 3^ . d^M -4- d'M iflh /-. dM, essendo anche r reale; 



dopo di che la direzione della retta che da M va al punto di 

 mezzo della LN sarà data da 



MN-+-ML:£^(o — t/^)dM-4-i(o'-Hi//")d'M, 

 ossia dalla (i5) M W iflb <7 . dM -f- d'M . 



