3oii Sposizione del metodo delle equipollenze 



i8o. Una parabola che nel punto M abbia colla data curva 

 un contatto del 3° ordine possiamo esprimerla con 



MN zCby .MT -H^ M W, essendo N il punto generico della 

 parabola, MT la sua tangente, MW la direzione del diametro 

 ( S- '79)' ed j la variabile, da cui dipendono i varii punti 

 della parabola. Perchè tra la data curva M e la parabola N 

 abbia luogo un contatto del 3" ordine bisogna (5- J6g) che 

 per la y possa prendersi tale funzione della ^, che j = o renda 

 dM:£ì=d/.MT-H7dj.MW, d"M=£^d^7.MT-+- (7d>--Hdj^)MW, 

 d^ M rCb d^7 . M T -H (j d^ j H- 3 dj d^7 ) M W, nei cui secondi 

 membri le rette MT, MW si considerano come fisse. Perciò rite- 

 nuto che sia MT £Ib dM, quando j = o dovrà essere dj=i, 

 poscia (i5) d=M:£ì= — ^.dM-i-MW, essendo — </ il 



valore che prende d^j quando 7^0, e finalmente 

 d^M:£bd'/.dM — S^-.MW, e sostituendo in questa il va- 

 lore di MW dato dalla (i5) sarà 



(i4) d^M-i- 3^.d^M£:5r (d^7 — 3^^) dM, la qual equi- 



pollenza servirà a determinare q per poscia sostituirla nella 

 MWrfZb^.dM-Hd^M. Si vede adunque che questa M W 

 è quella stessa del 5- precedente. 



181. Per prima applicazione ceichiamo la parabola che ha 

 un contatto del 3° ordine colla sviluppante del circolo espressa 

 (§. 178) da 0Mr2=/£^i^d(^. Posto per brevità d^=i, 

 cioè prese le derivate rispetto alla <p^ per la (i4) dovremo 

 rendere 3^(i-4-i^-^)-<-(2,y^ — (^) reale, perciò sarà 



q ■=. — 5^, e sostituendo nella (i5) avremo 



MW:£b(i.-H (^y) e"^. Dunque ( Fig. 35*) se il raggio di 

 curvatura 0R= i dell'evoluta AR si prolunghi di 

 RW=!lbiOR, la retta MW dimezzerà la corda della curva 

 AM che è parallela ed infinitamente vicina alla tangente nel 

 punto M. Questa relazione tra il raggio di curvatura MR, 

 quello RO della sua evoluta, e la direzione della retta MW 

 sussiste per qualsiasi curva M. Se questa è una conica, MW 

 ne è un diametro, così si ha un modo facile di costruire il 

 raggio di curvatura RO dell' evoluta di una conica. 



