Memoria del Prof. Giusto Bellavitis 3o3 



182. Una curva riferita alle coordinate parallele, siano 

 desse ortogonali oppure obblique, è espressa dall' equipollenza 

 OM. d^ X .0 A -^ y .OB; prendendo le derivate rispetto alla x 

 avremo dM£^OA-<-dj.OB, d^Mr^r^d^j.OB, d5M£:bd3j.OB. 

 Per la (14) del §. 179 dovendosi ridurre { 3^d"7 -f- d'y ) OB 

 parallela ad OA-ndj.OB, ciò non potrà ottenersi se non 

 se supponendo 3 «7 d*y -+- d^jy = o ; dopo ciò la (i5) darà 



MW:^ — 3^(OA-^-d7.0B)-+-d=J.OB. 



i83. Nella spirale logaritmica O M =C}z e"' f' si ha 

 d M £:ì= e"' £' ( a -t- y ) , d^'M zd: e"' e' {a -h- y)% ec. , dunque 

 per la (i 4) 3q {a -*- yy -^ {a -\- -/'f d:^ r{a -^y), cioè 



3g-i-2.a = c, e sarà M W rOi (-^ -H y ) ( a -I- y ) e"' f' . 



184. Problema. Trovare la sezion conica che ha un con- 

 tatto del 4° ordine con una data curva nel suo punto M . 

 Consideriamo l' ellisse, che passa pel punto M, ha il centro W, 

 e il cui semidiametro conjugato a WM è equipollente alla retta 

 MT, che dee supporsi tangente alla data curva; essa avrà 

 ( §. 145) l'equipollenza W N £ì: :r . WM -1-7 . M T , essendo 

 .r»-f-7^=i; quindi MN=Q; ( i — ^/i —7") MW -+-J.MT. 

 L' iperbola col centro C è CN :£ì: j/T^^. CM -H j. MT, 

 e posto GMz^i^MW sarà MNi£b(/i -t-y^— i)MW-t-j.MT. 

 Cosi tenendo conto dei soli termini del 4° ordine potremo as- 

 sumere per la conica osculatrice 1' equipollenza 

 M N rCb ( i /=> ± i j* ) M W -f- 7 . M T , il segno superiore va- 

 lendo pel caso dell'ellisse, l'inferiore per 1' iperbola; la stessa 

 equipollenza esprime la parabola (5- 180) quando si sopprime 

 il termine dotato del doppio segno. Ora le condizioni del con- 

 tatto del 4" ordine tra la curva M, e la conica ( rispetto alla 

 quale i punti M, W, T deggiono considerarsi come fissi ) si 

 ottengono derivando, e dopo facendo 7 = 0, sicché supposto 

 per brevità che quando 7 = sia d7=/;, d^7 := — pq, 



— — 3 ^* = r, si hanno per la determinazione delle rette 



MT, MW le equipollenze (16) ;7.MT=Q=dM, 



