3o4 Sposizione del metodo delle equipollenze 



(17) p^ .MW ^0=d^M-^- q .dM, purché le quantità reali/?, 

 q, r rendano soddisfatta la (18) d^M^^ — S^.d^'M-f- /-.dM, 



e sia (rg) d^^M — (4/--t- i5^" zt S/?") d^M parallela 



alla dM. Il valore di q dato dalla (18) è quello stesso che si 

 trova colla (i4) del §. 179, perciò la MW della (17) ha la 

 stessa direzione di quella della (i5) ( §. 179). 



i85. Nella sviluppante del circolo (5- 178, 181 ) abbiamo 



già trovato ^ = — ^, sicché la (18) dà 



£^(27^' — ^) — ^e [i -\- (p'^)^£^<p r V ., quindi 



7 = — t— ^, 4r-H i5^= = — 4 — gij, e per la (19) dob- 

 biamo rendere reale — 3 — ^y^-i-(4H-3^^3/?=) ( i -H ^>^), 

 il che non può ottenersi se non se col segno superiore e po- 

 nendo p* = I -I — \i\ dopo dì che le (16), (17) determine- 

 ranno due diametri conjugati dell' ellisse osculatrice. Potremo 

 dire che la sviluppante del circolo ha in tutti i suoi punti la 

 curi>atura ellittica^ poiché ha un contatto del 4° ordine con 

 un' ellisse. 



186. Nel caso generale di OM^D^x.Ok-i-y.OB es- 

 sendo / funzione della variabile indipendente a-, abbiamo già 

 trovato ( §. i8a) 3 </ d^y -+- d^y = o, e la (18) dà r = o ; 



poscia per la (19) si ha =t /?= = ^ — 1( Jj|)^ il segno 



di questo secondo membro mostra se la curvatura sia ellittica 

 od iperbolica, e la curvatura è parabolica se esso si annulla. 



187. Per la spirale logaritmica {$. i83 ) OHr^he^'f' si 

 ha 3^-(-aa = o, r =■ Z q a -k- a'^ — 1= — a* — 1, e dob- 

 biamo rendere reale {a-¥-yY — (fa° — \zìz^ p^) [a -¥■ •/"), 

 cioè =t /7' = i«^-t- I ; così deve prendersi il segno superiore, 

 la curvatura è ellittica e 1' eUisse osculatrice ha il centro de- 

 terminata da (ifl — y)MW:£:!=(a-Hy^)OM. — Con 

 simili calcoli si trova che anche la cicloide ha in tutti i suoi 

 punti la curvatura ellittica; la logaritmica e la sinusoide hanno 

 invece la curvatura iperbolica; la parabola od iperbola 



