Memoria del Prof. Giusto Bellavitis 3o5 



OM zùz X .0 A -*- X" .OB ha la curvatura sempre ellittica se 

 n cade tra ^ e a, e sempre iperbolica se re è minore di ^, o 

 maggiore di a. La Lemniscata espressa da O M rCb j/ i -t- £* 

 ha presso i vei'tici la cui'vatura ellittica e presso i flessi la 

 curvatura iperbolica, e quindi ha quattro punti corrispondenti 



a cos— =1:45 e facilmente costruibili, colla curvatura 



parabolica. 



i88. Problema. Trovare V inviluppo di un sistema di curve 

 espresso dalla O M :£l= (^ ( ?, t ) ; dove x è un parametro, i cui 

 valori reali danno tutte le curve del sistema. — Siccome ogtii 

 punto della curva ricercata deve trovarsi sopra una delle date; 

 così quella stessa equipollenza ci rappresenterà anche la curva 

 richiesta, purché si supponga % una certa funzione di t. Ora 

 nel punto M la tangente della curva corrispondente ad un de- 

 terminato valore del parametro x è data in direzione (§. i63) 

 dalla derivata D^M presa rispetto alla sola variabile t: invece 

 la tangente della curva espressa da OM £1: «^ (^, t), quando 

 si suppone che x sia funzione della t, è espressa dalla derivata 

 d M =flh D, M -+- Dt M . dr, essendo dr la derivata della x ri- 

 spetto alla t. Perchè la seconda curva sia 1' inviluppo delle 

 prime bisogna che queste due tangenti abbiano identica dire- 

 zione; perciò la D,M dovrà esser parallela alla DtM-t-DrM.dT, 

 e quindi anche alla D^M. La relazione tra ^ e r si otterrà 

 adunque mediante l'equipollenza (2,0) D^ M r£li /? . Dr M , 



essendo p un coefficiente reale indeterminato. 



189. Supponiamo che nella OÌ<l-£:=.(p [t^x) sia t il pa- 

 rametro variabile da curva a curva, e x sia la variabile che 

 in ciascuna curva distingue un punto dall' altra ; per tal ma- 

 niera l'equipollenza rappresenterà un secondo sistema di curve 

 affatto differente dal primo; se cerchiamo il loro inviluppo ri- 

 cadiamo sulla stessa (2,0); perciò i due sistemi di curve espresse 

 dalla OM. zCh. (p [t, x) hanno il medesimo inviluppo. 



190. Sieno OA, OB ( Fig. 36*) due semidiametri coniu- 

 gati di un'ellisse, da ciascun punto R di questa sieno tirate a 



Tomo XXV. P," //." Nn 



